Suites

[Pauline29]

Bonjour et merci d'être ici,
J'ai un devoir maison à faire pour la rentrée, l'exercice 2 et 3 sur les nombres complexes ne m'ont posés aucun problème mais je bloque sur l'exercice 1 sur les suites.
Merci de votre aide

Enoncé:

On considère trois suites : (Un ); (Vn ) et (en) définies pour n ≥ 1 par :

Un = ∑1/k! (en haut: n; en bas: k = 0)
(où n! = 1× 2× 3× .... × ( n - 1) × n avec la convention 0! =1 )

Vn = Un + 1/(n × n !) et en = Vn - Un

0°) Donner une relation de récurrence entre n ! et ( n + 1) !
1°) Justifier que Vn ≥ Un et que (Un ) est croissante
2°) Démontrer que (Vn) est décroissante puis justifier que (Un ) est majorée par V1
3°) Démontrer que la suite (Un ) est convergente.
4°) Démontrer que la suite (Vn) est convergente.

J'ai essayée de nombreuses choses avant de venir demander de l'aide et voici ce que j'ai obtenue en dernier:

0)
n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n
(n+1)! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n x (n+1)
= n! x (n+1)

1)
Pour prouver que Vn >= Un on doit montrer que Vn - Un > 0 :
Vn - Un <=> Un + 1/(n x n!) - Un
<=> 1/(n x n!)

n et n! étant deux chiffres positifs, 1/(n x n!) est positif et donc Vn - Un >0 alors Vn >= Un

Pour que (Un) soit croissante, il faut Un+1 - Un>0

Un+1 - Un = ... = 1/(n + 1)!

1/(n+1)! étant positif alors (Un) est croissante

Mon résultat me parait faux, je me suis donc arrêtée là pour éviter de me tromper aussi dans la suite de l'exercice.

J'espère que vous pourrez me corriger et m'expliquer la suite de l'exercice car je suis perdue.
Merci beaucoup, bonne journée / soirée.

[Pseuda]

Bonjour,

Ton résultat est juste pour la croissance de Un, c'est très simple. Fais pareil pour la décroissance de Vn : calcule V(n+1)- V(n). Tu verras, le calcul est plus compliqué.

[Pauline29]

Mes autres résultats sont-ils aussi bons ? merci pour ton aide

[Pseuda]

Oui. Mais attention au mélange <=> et =, > et >=.

[Pauline29]

Merci, j'y ferai plus attention au moment de recopier, merci.
Pour V(n+1) - V(n) j'ai:
V(n+1) - V(n) <=> U(n+1) + 1/(n+1)(n+1)! - U(n) - 1/(n x n!)
<=> 1/(n+1)! + 1/(n+1)(n+1)! - 1/(n x n!)

Dois-je mettre certains membres au même dénominateur ?

[Pseuda]

Oui, il faut montrer que le numérateur de la fraction trouvée est positif.

[Pauline29]

Merci,
J'arrive à cela:

Numérateur: (n x n!) - (n + 1)! + [(n+1)! x (n x n!)]
Dénominateur: [(n+1)! x (n x n!)] [(n+1)(n+1)!]
Est-ce correct ?

[Pseuda]

Ouh là. Tu peux te simplifier la vie en cherchant un multiple commun plus simple aux dénominateurs : (n+1)!, (n+1)(n+1)! et n*n!

Puisque tu as remarqué que (n+1)!=(n+1)*n! ...

[Pauline29]

D'accords,
En recommençant j'ai:
1/(n+1) + 1/(n+1)² - 1/n

J'ai essayé de mettre au même dénominateur mais en étant arrivée à: -1/(n+1)n + 1/(n+1)² je ne suis pas sure que ce soit la solution. Merci de m'éclairer

[Pauline29]

J'arriverai donc à:

Numérateur: (n+1)² + (n+1)n
D: (n+1)^3 x n

Est-ce bon ?

[Pseuda]

Ce n'est pas ça. Au dénominateur, tu dois avoir un multiple commun aux 3 dénominateurs.

Par exemple, trouve un multiple commun à 12, 8 et 16, le plus simple possible (le plus petit possible).

[Pauline29]

Merci,
Le multiple commun de 12, 8 et 16 serait 4, non ?

[Pseuda]

Hum non, ça c'est un diviseur commun. Un multiple commun de 12 et de 8 serait 24.

[Pauline29]

Ah oui excusez moi.
Malgré votre exemple je n'arrive pas à trouver le résultat au calcul

[Pseuda]

Un multiple commun à (n+1)!, (n+1) x (n+1)! et n x n! est : n x (n+1) x (n+1)!

Il ne reste plus qu'à trouver le numérateur (de chacune des 3 fractions avec ce dénominateur, et de mettre le tout dans une même fraction).

[Pauline29]

Mon résultat ne me paraît pas logique, je pense avoir fait une erreur quelque part mais j'obtiens:
Numérateur : (n+1)(n+1)!(n x n!) + (n+1)!(n x n!) - (n+1)!(n+1)(n+1)!
Je suppose qu'il y a un moyen de simplifier, peut être en remplaçant (n+1)! Par (n+1) x n! ? Merci de m'aider

[Pauline29]

Je viens de voir mon erreur, je recommence et reviens vers vous

[Pauline29]

En fait non, mais si je simplifie le numérateur cela me donne une expression de degré 2. Est-ce problématique ?

[Pseuda]

Ce qu'il faut, c'est arriver à factoriser le numérateur pour étudier son signe.

[Pauline29]

Je n'aime pas faire ça mais pourrais-tu me donner le résultat à atteindre ? Souvent cela m'aide à trouver par moi-même le raisonnement et savoir ce que je dois faire si un calcul semblable se présente
Merci du temps que tu m'accorde