Continuité sur R3

[Menthix]

Bonsoir,
Je dois dire si cette fonction définie de R3 dans R est continue ou non : f(x,y,z) = (x.y.z)/(x²+y²+z²). Je sais que cette fonction est continue sur R\(0,0,0). Maintenant il s'agit de montrer que f admet ou non une limite en 0,0,0. Je ne sais pas comment m'y prendre.

Si j'avais x.y.z > 0 je pourrai encadrer : 0 < (x.y.z)/(x²+y²+z²) < y.z (car x/(x²+y²+z²) < 1) et dire que quand x,y,z tendent vers 0, f(x,y,z) tend vers 0 mais je n'ai pas cette information (la positivité des 3 variables).

J'ai essayé de prendre plusieurs triplets de suites tendant (qui tendent toutes vers 0 quand n tend vers +oo) et de montrer que leurs images tendent vers des limites différentes (ce qui montrerait que f n'a pas de limite en 0 et donc est discontinue en 0). Mais pour tous les triplets que j'ai pris, l'image tend vers 0... Le problème est que pour montrer l'existence de la limite, il me faut montrer que l'image de toutes les suites de R3 tendent vers 0.

Voilà je sais pas comment m'y prendre face à ce genre d'énoncé. J'aimerai au moins savoir si la limite existe ou non. Mais comment ?

[aviateur]

Bonjour, Passe en coordonnées sphérique, le résulta est évident

[Menthix]

Nous n'avons jamais vu les coordonnées sphériques. N'y a t-il pas un autre moyen ?

[pascal16]

dans la direction du vecteur (1;1;1), la limite en 0 est 1/3 [edit], c'est 0
dans la direction du vecteur (-1;1;1), la limite en 0 est -1/3 [edit] , c'est 0
conclusion ? [ mauvaise explication]

tu peux représenter z=xy/(x²+y²) pour 'voir' à quoi ça ressemble avec une dimension de moins [ oui, là c'est pas 0]

[Ben314]

Salut,
Je te l'ai déjà dit dans l'autre post. : le B-A-BA de ce type d'exercice, c'est de savoir que les coordonnées sont, en valeur absolue majorées par les 3 normes "usuelles".

Ici, au vue du dénominateur, il est clair que la norme 2 : est la plus adaptée au problème. Donc tu as :

ce qui prouve que tend vers 0 lorsque (x,y,z) tend vers (0,0,0).

Et de façon générale, si tu doit montrer que f(X) tend vers L lorsque le vecteur X tend vers le vecteur X0, ce qu'il faut que tu fasse, c'est de majorer ||f(X)-L|| par un truc qui ne dépend que du réel N=||X-X0|| et qui tend vers 0 lorsque N tend vers 0.