Prolongement par continuité

[Menthix]

Bonsoir, j'ai une question sur un exercice de continuité.
Il s'agissait de montrer que la fonction définie sur R tq :
f(x) = - sin(1/x) si x =/= 0
- 0 si x = 0.
est continue.
Pour résoudre cet exercice en cours nous avons montré que la fonction f(x) n'admet pas de limite en zéro (on l'a montré en prenant deux suites Xn et Yn qui tendent vers 0 en +oo mais pour lesquelles lim(f(Xn) =/= lim(f(Yn) (en +oo).
Je suis d'accord, mais n'aurions nous pas simplement pu prendre une suite Xn de R qui tend vers 0 en +oo et telle que f(Xn) tend vers 1 en +oo (par exemple en prenant Xn = 2/(Pi(4n+1)).
On a f(Xn) --> 1 (en +oo i.e à mesure que Xn tend vers 0) or 1 =/= 0 (et 0 est la valeur de f(x) quand x=0), donc la fonction f n'est pas continue (ou du moins son prolongement par continuité est faussé).
Merci de me dire si mon raisonnement est correct

[pascal16]

tu as raison.
la continuité c'est deux choses
-> que la limite au point considéré existe
-> qu'elle soit égale à la valeur de la fonction en ce point.

le prof s'est uniquement servi de la première condition.

[Menthix]

Ok, merci de ta réponse !

[Pseuda]

A mon sens, le prof a montré que la fonction définie sur R\{0} par f(x)=sin(1/x) n'est pas prolongeable par continuité en 0. C'est plus fort que de prolonger f en 0 par f(0)=0 et de dire que f n'admet pas de limite en 0.