Congruences SPE TS

[stella914]

Déterminer les entiers n tels que 2n - 1 est divisible par 9

Comment je dois faire ??? Je sais pas du tout comment m'y prendre merci davance

[infernaleur]

Salut je sais pas si il y a plus rapide mais essaye de te ramener à une relation de bézout

[Ben314]

Salut,
Si 2n-1 est divisible par 9, que peut-tu dire de 5(2n-1) ?
Et réciproquement, si 5(2n-1) est divisible par 9, est-ce que 2n-1 l'est forcément ?
Vu que 5(2n-1)=9n+(n-5), à quelle condition 5(2n-1) est il divisible par 9 ?

[stella914]

Merci de votre réponse,
5(2n-1) sera divisible par 9
Non pas forcément
Si 5(2n-1) : congru 0 (9)

Je ne comprends pas dou sorte les 5 et dou vient 9n+(n-5) A ou voulez vous en venir ??

[Ben314]

J'avais pas fait gaffe que tu avait vu les congruence.
Dans ce cas, l'explication est très simple :

Comment fait on au collège pour résoudre l'équation 2X-1=0 ?
Réponse : On commence par ajouter 1 des deux cotés ce qui donne 2X=1 puis on multiplie des deux cotés par l'inverse de 2, c'est à dire 1/2 ce qui donne X=1/2.
Et là, le truc important à comprendre, c'est cette notion d'inverse : c'est quoi l'inverse de 2 ?
Réponse : C'est le nombre qui, multiplié par 2, donne 1 donc quand on va multiplier le 2X de gauche de l'égalité 2X=1 par ce nombre, ça va faire 1X, c'est à dire X.

Revenons à ton problème : toi, tu voudrais savoir quand est-ce que 2n-1 est divisible par 9, c'est à dire en fait résoudre l'équation (<-> "2n-1 congru à 0 modulo 9").
On peut commencer exactement comme au collège, à savoir ajouter 1 des deux cotés : .
Ensuite, le problème, c'est qu'on peut pas franchement multiplier par 1/2 (vu qu'on ne manipule que des nombres entiers) donc la question c'est de savoir qui ça peut bien être l'inverse de 2 (modulo 9), c'est à dire par qui doit on multiplier 2 pour obtenir 1 modulo 9 ?
Réponse : à toi de trouver...

[chan79]

salut
autre approche
on cherche les n tels que 2n s'écrit sous la forme 2n=1+9k
Montre que k est forcément impair et remplace le par 2p+1 dans l'égalité ci-dessus.

[Pseuda]

Bonsoir,

Encore une autre approche. Tu fais un tableau de congruences, où tu mets n allant de 0 à 8 (9) sur la 1ère ligne, le résultat (reste congru) de 2n-1 (9) sur la 2ème ligne, et tu regardes quand le résultat fait 0.

[stella914]

J'avais pas fait gaffe que tu avait vu les congruence.
Dans ce cas, l'explication est très simple :

Comment fait on au collège pour résoudre l'équation 2X-1=0 ?
Réponse : On commence par ajouter 1 des deux cotés ce qui donne 2X=1 puis on multiplie des deux cotés par l'inverse de 2, c'est à dire 1/2 ce qui donne X=1/2.
Et là, le truc important à comprendre, c'est cette notion d'inverse : c'est quoi l'inverse de 2 ?
Réponse : C'est le nombre qui, multiplié par 2, donne 1 donc quand on va multiplier le 2X de gauche de l'égalité 2X=1 par ce nombre, ça va faire 1X, c'est à dire X.

Revenons à ton problème : toi, tu voudrais savoir quand est-ce que 2n-1 est divisible par 9, c'est à dire en fait résoudre l'équation (<-> "2n-1 congru à 0 modulo 9").
On peut commencer exactement comme au collège, à savoir ajouter 1 des deux cotés : .
Ensuite, le problème, c'est qu'on peut pas franchement multiplier par 1/2 (vu qu'on ne manipule que des nombres entiers) donc la question c'est de savoir qui ça peut bien être l'inverse de 2 (modulo 9), c'est à dire par qui doit on multiplier 2 pour obtenir 1 modulo 9 ?
Réponse : à toi de trouver...

Merci de votre réponse,
par qui doit on multiplier 2 pour obtenir 1 modulo 9 : PAR 5
Que dois-je faire après?

[Ben314]

Maintenant que tu as vu que 5 est l'inverse de 2 modulo 9 (c'est à dire que c'est 5 qui "joue le rôle" de 1/2 dans ce contexte), ben t'as plus qu'à continuer comme on le fait au collège, à savoir que, partant de , tu multiplie par 5 des deux cotés.

[quentinlao]

Bonjour,
Je suppose qu'il faut faire un tableau de congruences. C'est-à-dire un raisonnement qui se rapproche du raisonnement par disjonction de cas.

[Ben314]

Bonjour,
Je suppose qu'il faut faire un tableau de congruences. C'est-à-dire un raisonnement qui se rapproche du raisonnement par disjonction de cas.

Non, ce n'est (évidement) pas un "il faut", mais "on peut".
Concernant ce type d'exo., comme toujours (et peut être même encore plus que toujours), il y a des tas et des tas de façon de résoudre le problème, plus ou moins rapide, plus ou moins astucieuses, plus ou moins "esthétiques", demandant plus ou moins de connaissances, etc...

Toutes celles proposées par les différents intervenant sont tout à fait valables. A chacun de voir celle qu'il préfère. De plus, quand on a le temps, il est très utile de trouver (et rédiger) plusieurs méthodes pour résoudre un même problème : c'est en particulier une des façon les plus pertinentes de comprendre les "passerelles" qui relient les différents domaines des maths que l'on a déjà abordé.