Complexes- Suites- Géométrie

[Lucie58]

Bonjour, je suis bloquée sur ce Dm, je trouve pour v5 une valeur approchée... Voilà le sujet:

Et voici où j'en suis:
module de p: 1
argument de p: pi/4
u1: 2√2 + 2√2 i
module u1: 4
forme trigonométrique: 4*(cos pi/4 + i sin pi/4)
u2 : 4i
module u2: 4
FT: 4*(cos 0 + i sin 1)
u3: -2√2 + 2√2 i
module u3: 4
FT: 4*(cos -pi/4 + i sin pi/4)
u4: -4
module u4 : 4
FT: 4*(cos -1 + i sin 0)
u5: -2√2 -2√2 i
module: 4
FT: 4*(cos -pi/4 + i sin -pi/4)
2. module q: 3/4
argument de q: pi/4
v1: (3√2)/2 + (3√2)/2 i
module v1: 3
FT: 3*(cos pi/4 + i sin pi/4)
v2: 9/4 i
module v2: 9/4
FT: 9/4*(cos 0 + i sin 1)
v3: (-27√2)/32 + (27√2)/32 i
module v3: 27/16
FT: 27/16*(cos -pi/4 + i sin pi/4)
v4: -81/64
module v4: 81/64
FT: 81/64*(cos -1 + i sin 0)
v5: -0.67 + 0.67i
cette valeur me semble pas juste
j'ai vu sur internet qu'il fallait utiliser une propriété de l'argument le souci est qu'on ne l'a pas vu en cours on a juste vu les propriétés du module...
Merci d'avance pour votre aide

[pascal16]

forme trigonométrique: 4*(cos pi/4 + i sin pi/4)
veut dire : module 4 et argument pi/4

Je ne vois pas le sujet

[Lucie58]

Voici le sujet:
On définit trois suites de nombres complexes: (un), (vn) et(wn) par leur terme initial commun: 4 et une relation de récurrence, pour n entier naturel:
u n+1= p*un où p= √2/2 + i √2/2
v n+1= q*v n où q= 3/4 p
w n+1= r*w n où r= 1.1p

Partie A : partie graphique :

1) Suite (u n) : quelle est la nature de cette suite ? Quel est le rôle du nombre p ? Comment le nomme-t-on ? Déterminer module et argument pour p. Calculer successivement, et/ou à l'aide d'une relation explicite, les 5 termes suivants u 0 et les écrire sous forme trigonométrique. Placer dans le plan complexe les points P 0 d'affixe u 0, P 1, P 2, P 3 jusqu'à P 8.

2) Suite (v n) : Déterminer d'abord module et argument pour q. Calculer successivement les 5 termes suivants v 0 et les écrire sous forme trigonométrique. Placer dans le plan complexe les points Q 0 d'affixe v 0, Q 1, Q 2, Q 3 jusqu'à Q 8.

3) Suite (w n) : Déterminer module et argument pour r. Calculer successivement les 5 termes suivants w 0 et les écrire sous forme trigonométrique. Placer dans le plan complexe les points R 0 d'affixe w 0, R 1, R 2, R 3 jusqu'à R 8.

4) Observations sur le graphique : une couleur par suite, relier les points dans l'ordre.

En observant les point P i, Q i et R i précédemment placés et les modules et arguments des nombres p, q et r, quelles remarques peut-on formuler quant à la multiplication par un nombre complexe du point de vue des modules et des arguments?

Il y a un graphique en annexe mais je n 'arrive pas à insérer l'image
pour les points P j'obtiens un cercle

[pascal16]

u n+1= p*un où p= √2/2 + i √2/2 = exp(ipi/4)

résultat sur les suites géométriques :
Un= Uo(p^n)

Un= Uo*(exp(ipi/4))^n
Un= Uo*exp(i.n.pi/4)

Un est donc cyclique de période 8 ()

Géométriquement, se sont les sommets d'un octogone.

[Lucie58]

Je suis désolée je suis complètement perdue (on a pas encore vu la notation exponentielle )

[pascal16]

v n+1= q*v n où q= 3/4 p

sépare module et argument.[(3/4)* exp(ipi/4)]^n = (3/4)^n. exp(i.n.pi/4)

l'argument : ça fera toujours un truc qui tourne avec une vitesse angulaire constante
module : il diminue.
total : on a une spirale.

[pascal16]

pour la 1 :
le nombre p fait faire une rotation de pi/4 autour de O.

[Lucie58]

J'obtiens bien un cercle pour U et une spirale pour V mais le "exp" je ne vois pas du tout ce que c'est

[pascal16]

exp = exponentielle = le e de la forme