Problème de math

[AdraKK]

Bonjour pour lundi je dois faire un problème de math mais je ne parviens a le mettre sous forme d'équation.
Voici le problème :
Le Rhénus Sport est une salle multi-sport située dans le quartier européen du Wacken à Strasbourg,
en France. En fonctionnement depuis l'été 2003, après la rénovation de l'ancien Rhénus, le Rhénus
Sport occupe la partie sud du nouveau Rhénus. Elle est la salle du club de basket-ball de
Strasbourg, la SIG Basket évoluant en Pro A ; la capacité actuelle de cette salle est de 8000 places.
Une manifestation sportive y est organisée et l'organisateur souhaite fixer le prix de billet pour
optimiser sa recette. Son directeur financier lui rapporte que si le prix du billet est de 45 euros, il vend
400 billets et que chaque baisse de 0,70€ sur le prix du billet lui permet de vendre 120 billets
supplémentaires. Déterminer le prix de vente d'un billet pour que la recette de cette manifestation soit
maximale.

Merci de votre aide

[pascal16]

calcule le nombre de billets vendus si le prix est de 45-x*0.70
la recette est alors de (45-x*0.70)*le nombre de billets vendus

tu tombes sur une équation du second degré en x

[AdraKK]

Mais ne doit il pas avoir une inéquation en meme temps sachant que le nombre de place est limité a 8000 ?
Merci de ta réponse

[triumph59]

Oui tu as raison, il y aura une condition à vérifier : "le nombre de places vendues ne devra pas dépasser 8000"

Il faudra donc une fois que tu auras défini la fonction qui permet de calculer la recette et que tu auras trouvé le maximum de cette fonction t'assurer que la condition sur le nombre de places est vérifiée.

As-tu avancé sur la définition de cette fonction R(x)=recette exprimée en fonction de la baisse du prix de vente de la place ?

[AdraKK]

45-0.70x=400+120x je pense que la première équation est celle-ci si je ne me trompe pas ?

[pascal16]

Il y a bien une inéquation que l'on peut tout simplement inclure dans l'ensemble de définition : x varie de 400 à 8000

"45-0.70x=400+120x" ce n'est pas une égalité de chiffre, mais une correspondance, des euros ne sont pas égaux à un nombre de place

la recette est alors de (45-x*0.70)*(le nombre de billets vendus)
si tu préfères, ça te donne R(x), la recette en fonction de x, on cherche à maximiser R(x)

[AdraKK]

Donc si je comprend bien je devrais donner une autre inconnue aux euros ?

[triumph59]

Une seule équation à trouver, tu peux poser x = nombre de baisses du prix billet.

Il y aura toujours au minimum les 400 places vendues à 45€, puis à chaque baisse de 0.70€ viendront s'ajouter 120 places.

R(x)=400*45+120*x*(45-x*0.70)

Ex :
si le prix baisse 1 fois, il y aura 1*120=120 billets supplémentaires à 45-1*0.70=44.30 €
si le prix baisse 2 fois, il y aura 2*120=240 billets supplémentaires à 45-2*0.70=43.60 €
...

Tu n'as plus qu'à développer R(x) ce qui te donnera une équation du 2nd degré ... étude classique des variations de cette fonction.

Pour t'aider ET seulement pour t'aider tu peux tracer cette fonction sur une calculatrice graphique pour voir son allure

[AdraKK]

Merci beaucoup pour les réponse cela ma beaucoup aidé

[Ben314]

Salut,

Il y aura toujours au minimum les 400 places vendues à 45€, puis à chaque baisse de 0.70€ viendront s'ajouter 120 places.
R(x)=400*45+120*x*(45-x*0.70)

Perso, c'est pas du tout comme ça que je comprend l'énoncé.

...si le prix du billet est de 45 euros, il vend 400 billets et que chaque baisse de 0,70€ sur le prix du billet lui permet de vendre 120 billets supplémentaires.

On te dit que SI (c'est un conditionnel) le prix du billet est de 45 Euro, il en vendra 400 et ça ne veut évidement pas dire qu'il en vend systématiquement 400 à 45 euros et le reste à un autre prix.
Bref, moi ce que je comprend, c'est que les billets, il les vends tous au même prix et donc la recette, c'est simplement Recette = Nombre_de_billets_vendus Prix_du_billet

[AdraKK]

Heu la vous me faites remettre en cause tout le raisonement je ne sais plus trop quoi faire
C'est vrai que les deux possiblités seraient plausible ...
Mais la quelle choisir

Le début du DM portait sur des équations bicarrés et cela me parait bizarre de ne plus les utilisés pour le problème (j'avais oublié de le préciser désolé)

[triumph59]

Autant pour moi et merci Ben il y a effectivement un seul prix fixé pour tous les billets

Recette = nombre de billets * prix du billet

R(x)=(400+120x)*(45-0.7x)

Tu trouves bien une équation bicarrée (du second degré) qui va passer par un maximum

[AdraKK]

Merci beaucoup a vous tous

[triumph59]

As-tu trouvé ce maximum ?

[AdraKK]

J'y travail

[AdraKK]

heuuu je trouve 355/21 en maxi

[triumph59]

Je ne trouve pas le même résultat, qu'as-tu obtenu en développant R(x)=(400+120x)*(45-0.7x) et en mettant sous la forme R(x)=ax²+bx+c

Je ne donne pas les réponses toutes faites et j'essaie de comprendre où tu as pu commettre une erreur ...

[AdraKK]

Alors j'ai fais
(400+120x)(45-0.7x)
=18000-280x+5400x-84x^2
=-84x^2+5120x+18000

Ensuite j'ai calculé le discriminant
delta=5120^2-4*(-84)*18000
delta=5680^2 (ou 32 262 400)

Puis je calcul alpha = -b/2a
=-5120/-168
=640/21

Puis beta = -delta/4a
=5680/(4*(-84))
=-355/21

Forme canonique a(x-alpha)^2+beta
=-84(x-640/21)^2-355/21

Beta est le maximum pour f(alpha)

Oui effectivement erreur de signe c'est -355/21

[triumph59]

On ne demande pas de calculer le montant de la recette mais uniquement le prix du billet, le calcul de alpha est donc suffisant !

Attention au calcul de alpha (tu as perdu un - dans la bataille)



On te demande de trouver le nombre de baisses du prix du billet, on va arrondir à 30 car on cherche un nombre entier

Après 30 baisses, le prix du billet sera donc 45-30*0.7=24

La recette sera donc maximale pour un prix de vente du billet à 24€

[AdraKK]

Merci beaucoup pour toute cette aide ca m'a sauvé la vie j'étais complétement bloqué