Équation matricielle

[Jackza]

Bonjour à tous

Voici l'énoncé : Soit tel que , et .

1. Montrer que
2. On pose . Déterminer l'ensemble des matrices M.

Pour la question 1, je n'arrive pas à montrer que M est orthogonale .
J'essaye de montrer que mais je n'y arrive pas.

Merci de votre aide.

[Jackza]

J'ai déjà quelques idées pour la question 2.

On pose : , un polynôme annulateur de .
La seule racine possible du polynôme est 1, donc .
Donc, si est diagonalisable, elle est semblable à .
Or, on sait d'après l'énoncé que .

Ainsi, l'équation n'admet aucune solution si est diagonalisable.

[Archytas]

La seule racine possible du polynôme est 1, donc .

Attention, tu oublies j e j² donc le polynôme annulateur est scindé à racines simple. M et sa transposée commutent donc sont simultanément diagonalisable. Le problème revient à montrer que 1 est l'unique valeur propre de M ce qui est en contradiction avec le fait que M n'est pas l'identité...
Sauf erreur de ma part une telle matrice n'existe pas. Donc je dois avoir fait une erreur mais je ne vois pas où..

[Jackza]

Merci de ta réponse, en effet, j'ai oublié j et j².
Dans l'exercice, , donc il me semble cohérent que l'équation n'a pas de solution.

Par contre, je ne vois pas du tout comme faire la quesion 1

[Archytas]

Ce que je voulais dire c'est que même la 1/ n'est peut-être pas solvable car aucune matrice ne vérifie ces conditions.
Je m'explique :
implique que est diagonalisable et par conséquent l'est aussi.
La relation implique que , sont simultanément diagonalisables (diagonalisable dans une même base). En notant la matrice de passage on obtient avec valeurs propres de donc 1,j ou j².
En supposant que (ce qu'on doit démontrer), la relation (*) implique donc tous les valent . Ainsi est semblable à , donc ce qui contredit l'hypothèse de départ.
Je peux me tromper mais à priori il y a une entourloupe dans l'exercice.
Où as-tu trouvé cet exercice ?

[aviateur]

Bonsoir
M est une matrice à valeurs dans R. Or est une matrice symétrique donc diagonalisable sur R. ( i.e il existe une b.o.n de vecteurs propres réels et de valeurs propres associées réelles)
Soit dc X un tel vecteur de la b.o.n
On a avec z dans R.
Maintenant implique
ainsi (car .
Donc avec le même raisonnement que M on en déduit que les valeurs propres de sont les racines cubiques de 1 (mais ici réelles) donc z=1. Il vient pour la base b.on i.e

[aviateur]

Rebonsoir,
attention messages simultanés.

semble être une solution

[Archytas]

Rebonsoir,
attention messages simultanés.

semble être une solution

Ok, bon je vois où mon raisonnement a merdé : les valeurs propres de la transposée de M sont les conjugués des valeurs propres de M donc la matrice diagonale est bel et bien l'identité, donc pas d'arnaque. Mea culpa.
Désolé pour la fausse piste.