Exercie de math

[Raysix]

Bonsoir, mon professeur de mathématique ma donner un exercice mais je n'arrive pas a le recoudre voici l’énoncé: combien de pièces de 5 centimes peut-on placer dans un disque de rayon 1 mètre ?
je sais qu'une pièce de 5 centimes mesure 21.25 mm , j'ai essayé de calculer l'aire ainsi que le périmètre mais je ne pense pas que c'est sa.
Merci de bien vouloir m'aider a le résoudre

[Pseuda]

Bonsoir,

Dans la pièce de 5 centimes, qu'est-ce qui mesure 21,25 mm ? Son rayon, son diamètre, son périmètre ?

[Raysix]

le diamètre mesure 21.25 mm

[Pseuda]

Tu peux déjà calculer l'aire d'une pièce et l'aire du cercle. Cela te donne une idée du nombre maximum de pièces qu'on peut y mettre. Sauf qu'il y a des trous...

[Raysix]

cela fait : pour le cercle de 1 m : pour la pièce :
3.14*100²=31400 cm² 3.14*2.125=6.6725 cm²

[Raysix]

bien sur il y a des trous mais je pense que ce n'est pas très important

[pascal16]

si on réalise un pavage, on peut donner une densité moyenne pour ajuster.
le rectangle tracé étant répété dans le pavage par les pièces et étant lui-même un pavage, il suffit de calculer la proportion de vide dans ce rectangle pour avoir la proportion de vide dans la figure complète

Ca fait vers 9% de vide, ça te donne une approximation plus précise (reste les problèmes de bord du cercle)

[Raysix]

Si j'ai bien compris le rectangle tracé en rouge correspond a 1 cercle ?
Et Est ce qu'il y a une formule pour calculer la proportion de vide?

[Raysix]

Les problèmes de bord du cercle peut être calculer avec le périmètre?

[pascal16]

c'est déjà pas mal.
pour le bord, il faudrait déterminer un diamètre où on est à 9% de trou (1m - 2 rayons de pièce ?)
et l'extérieur où la densité est moindre, sur une longueur approximativement égale au périmètre du cerle



et on a encore une approximation

[Raysix]

Je pense avoir trouvé la réponse

[Raysix]

Jai trouvé 543 pièces je ne sais pas si c juste mais voilà ce que j'ai fais:
Aire du cercle= 31400 je divise par l'aire d'une pièce qui est 6,67 cela =4707,64 cm^2
Avec ce résultat on ajoute les 9% =5131 cm^2
Puis je fais la racine carrés pour enlever le carré =71,63 cm
Comme j'ai calculer le périmètre du cercle : 2*100*3,14=628
Et le périmètre d'une pièce de 5centimes :2*2,125*3,14=13,345
J'additionne les 2périmètre puis j'enlève avec l'aire trouvé : 71,63+13,345-628=543,03

[Pseuda]

Bonjour,

cela fait : pour le cercle de 1 m : pour la pièce :
3.14*100²=31400 cm² 3.14*2.125=6.6725 cm²

Il y a une erreur dans ce calcul : 2,125 est le diamètre, pas le rayon, et il faut le prendre au carré.

Sinon, ce calcul n'a aucun sens :

Jai trouvé 543 pièces je ne sais pas si c juste mais voilà ce que j'ai fais:
Aire du cercle= 31400 je divise par l'aire d'une pièce qui est 6,67 cela =4707,64 cm^2
Avec ce résultat on ajoute les 9% =5131 cm^2
Puis je fais la racine carrés pour enlever le carré =71,63 cm
Comme j'ai calculer le périmètre du cercle : 2*100*3,14=628
Et le périmètre d'une pièce de 5centimes :2*2,125*3,14=13,345
J'additionne les 2périmètre puis j'enlève avec l'aire trouvé : 71,63+13,345-628=543,03

A la louche, j'entrevois 2 solutions :
- soit de partir du centre du cercle pour paver le cercle, en posant la 1ère pièce au centre, puis en cercles concentriques autour de cette pièce : il y a combien de pièces sur le 1er cercle, le 2ème, etc ..., où doit-on s'arrêter ? Il va rester des blancs autour.
- soit de partir du pourtour intérieur du cercle pour paver le cercle, toujours en cercles concentriques diminuant de rayon... Il va rester un blanc au centre.
Et de regarder la solution qui donne le plus de pièces (je n'ai pas fait).
On s'aperçoit que paver le cercle avec des pièces revient à le paver avec des triangles équilatéraux (de sommets les centres des pièces).

[Tiruxa47]

Bonjour,
J'en vois une troisième qui est une variante de la première de Pseuda.
On place trois pièces au centre du grand cercle de sorte que le centre du cercle soit le centre de gravité du triangle équilatéral formé par les centres des 3 pièces.
Voir figure ci-dessous
On continue ensuite jusqu'au bord, il y aura des vides au bord.

[pascal16]

tu dois y retrouver les 9% de vide.

Avec mes calcul.
point de départ, avec les surfaces : 8858 pièces
avec un pavage infini, vers 9% de vide : 7972 pièces
avec un pavage fini :
dans la partie centrale remplie à 91% : 7695 pièces
dans la partie externe : 144 demi-pièces : 72 pièces
pour un total de 7767 pièces (soit un remplissage de 87.6 %)

[Pseuda]

Bien vu Tiruxa ! Dans la variante partant de l'extérieur, il va rester un blanc au centre, mais aussi autour (les pièces ne vont pas s'ajuster en nombre entier sur le pourtour). Cela fait 3 variantes à chiffrer. Il y en a peut-être d'autres.

@ pascal : on n'a pas droit aux demi-pièces.

[chan79]

salut
Ca paraît bien naturel de faire une disposition hexagonale en partant du centre, mais le souci, c'est en arrivant au cercle. On peut peut-être faire mieux avec une disposition moins régulière.

[pascal16]

les demi-pièces sont les 'trous' sur le bord, une première approximation donne 50% de vide, soit le nombre de pièce qu'on peut y loger divisé par 2 (des demi-pièces)
Je surestime le nombre de pièce car sur le bord, on est à plus de 50% de vide.

[chan79]

J'arrive à 7855 mais il y a probablement mieux

[Pseuda]

Ca paraît bien naturel de faire une disposition hexagonale en partant du centre, mais le souci, c'est en arrivant au cercle. On peut peut-être faire mieux avec une disposition moins régulière.

Bonjour,

D'autres idées :

- en partant de l'extérieur, remplir le pourtour, puis continuer en colimaçon vers l'intérieur pour remplir l'espace jusqu'au centre

- remplir le pourtour en divisant le vide par le nombre d'espaces (= nombre de pièces) pour espacer régulièrement les pièces, puis remplir la 2ème couche en collant à la 1ère, etc..., jusqu'au centre.

Je n'ai pas fait les calculs. Ces solutions me paraissent plus optimum que les autres, mais il n'est pas certain qu'il existe une solution optimum démontrable. Ce problème semble faire davantage appel à l'algorithmique qu'aux maths, et le chapitre dont il est issu est bien mystérieux.