Suites

[LéoOnne97]

Bonjour, j'aimerais avoor un avis sur mes réponses pour ce dm

On suppose que sur une période donnée, la population d'un pays est constante et égale à 60 millions d'habitants. Ces habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville et on constate que les mouvements de population sont décrits par la règle suivante :
Chaque année, 20% des ruraux émigrent à la ville et 10% des citadins émigrent en zone rurale.
Au 01/01/2005, on compte 20 millions de citadins et 40 millions de ruraux.
On note respectivement Vn et Rn les effectifs (en millions) des citadins et des ruraux, au bout de n années.
On a donc Vo = 20 et Ro = 40.

1) Montrer que, pour tout n appartenant à N, on a :
Vn+1 = 0.9Vn + 0.2Rn
Rn+1 = 0.1Vn + 0.8Rn

2) Pour tout n appartenant à N, on pose Sn = Vn + Rn
a) Expliquer à l'aide du contexte pourquoi (Sn) est une suite constante et préciser la valeur de Sn pour tout n.
b) Retrouver ces résultats à l'aide de la question 1).
c) En déduire que pour n supérieur ou égal à 0 on a :
Vn+1 = 0.7Vn +12
Rn+1 = 0.7Rn + 6

3) Pour n appartenant à N on pose Wn = Vn - 40.
a) Prouver que la suite (Wn) est géométrique et donner l'expression de Wn en fonction de n.
b) En déduire que, pour n appartenant à N,
Vn = 40 - 20 * (0.7)n , puis donner l'expression de Rn en fonction de n.

4)a) Démontrer le sens de variations des deux suites
b) Déterminer au bout de combien d'années on aura, selon ce modèle :
Vn supérieur ou égal à 39 et Rn inférieur ou égal à 22.

J'ai deja fait toutes les questions et je suis à la 4eme pour lequel j'ai
Rn:20-20 * 0.7^n
Vn: 40-40 * 0.7 ^n

Dois je utiliser la dérivation ou encore la difference de terme ou le quotient de terme

Pour la derivation j'ai
Vn': 14.267 * 0.7^n
Rn':7.1335*0.7^n

Pour quotient d1 terme j'ai
Vn:(1.4285^n -1.4285)/(1.4285^n-1)

La je ne trouve pas le même résultat.

[pascal16]

Qu'as-tu fait ?

1 : facile ou pas ?

2a : la population rurale et la population des villes représente 100% de la population, or ici, on suppose en plus que la population reste stable et égale à 60 000 000, donc, pour tout n Un+Vn = 60 000 000. Sn est donc bien une suite constante

3 : application du point fixe, avec réponse donnée : je dirais bac série ES
soit on vérifie que Vn+1 - 40 = k (Vn - 40)

sinon, ( Vn+1 - 40 ) / (Vn - 40) =k

on détaille plus ou moins les résultats suivant son habitude

4) soit tu utilises les variations connues des suites géométrique et tu explique les variations (si tu n'oublie rien, ça passe sans calcul).
soit tu passe par Vn+1 - Vn

Rn:20-20 * 0.7^n
Vn: 40-40 * 0.7 ^n
est-ce que la somme fait 60 ?