Systeme d'équation différentielles

[croco4]

Bonjour à tous,

je ne comprends pas un exemple de cours, voici le lien:

http://mp.cpgedupuydelome.fr/cours.php? ... 78#id76179

Il s'agit du tout dernier exemple de la page.

Le "on observe que..." pour ma part je n'observe rien du tout

De mon côté j ai considéré la matrice A :



Je diagonalise et je trouve que 1 et 2 sont valeurs propres dont les vecteurs propres associés sont respectivement la première colonne et 2eme colonne de la matrice de passage P ci-dessous.


la matrice diagonale D des valeurs propres est:


Comme A =
j'ai


en faisant ce calcul ci dessus je pensais avoir résolu le système de façon général, cad que si on me donne un vecteur (a,b) en condition initiale, je peux le multiplier par et ainsi avoir mon unique solution...

Pour revenir au "on observe que", après avoir fait ces calculs j'observe que leur X1(t) et X2(t) sont le premier et 2eme vecteur de la matrice :

A aucun moment je n'ai de lambda et mu, et encore moins leur solution particulière:


j'ai l'impression de tout mélanger, alors merci d'avance pour votre aide

[acteon]

Bonjour à toi,

il y a plusieurs façons de résoudre un système différentiel. Dans cet exemple ils choisissent de ne pas utiliser la réduction matricielle, choix un peu dommage car moins général mais ça permet de résoudre avec moins de prérequis et cet exemple met aussi en avant les théorèmes de structure: "la solution générale du système est la somme de la solution générale du syst diff homogène associé et d'une solution particulière", mais aussi, comme on a un système de "taille 2" , l'ensemble solution du système homogène est un espace vectoriel de dimension 2. ils remarquent deux solutions indépendantes du système. (ce qui n'est pas évident en général). à partir de là on a toutes les solutions du syst homogène puisqu'il est de dimension 2: c'est l'ensemble des combinaisons linéaires de ces deux solutions.
Enfin, ils cherchent une solution particulière du système complet par la méthode de variation de la constante.

Sinon, on peut tout à fait passer par la diagonalisation (quand on peut, ou éventuellement trigonalisation etc....), c'est une méthode générale et appropriée puisqu'elle simplifie toujours le système.

En revanche j'avoue que je ne l'ai jamais fait avec l'exponentielle de matrice mais c'est peut-être une application en effet

[Black Jack]

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ???

x'1 = 3x1 - 2x2 + e^t
x'2 = x1 + e^t

En dérivant la 1ere équation, on a : x''1 = 3x1' - 2(x1 + e^t) + e^t
x''1 - 3x'1 + 2x1 = e^-t
Equation sans difficulté de résolution qui donne : x1(t) = (A+t)e^t + B.e^(2t) (Avec A et B des constantes réelles)

et cela remis dans l'équation 1 du système : 2x2 = 3(A+t)e^t + 3B.e^(2t) - (A+t+1)e^t - 2B.e^(2t) + e^t
x2(t) = (A+t).e^t + (B/2).e^(2t)

Si on veut présenter une méthode de résolution par des exercices ... autant choisir des exercices où la méthode apporte un plus

[croco4]

Bonjour à toi,

il y a plusieurs façons de résoudre un système différentiel. Dans cet exemple ils choisissent de ne pas utiliser la réduction matricielle, choix un peu dommage car moins général mais ça permet de résoudre avec moins de prérequis et cet exemple met aussi en avant les théorèmes de structure: "la solution générale du système est la somme de la solution générale du syst diff homogène associé et d'une solution particulière", mais aussi, comme on a un système de "taille 2" , l'ensemble solution du système homogène est un espace vectoriel de dimension 2. ils remarquent deux solutions indépendantes du système. (ce qui n'est pas évident en général). à partir de là on a toutes les solutions du syst homogène puisqu'il est de dimension 2: c'est l'ensemble des combinaisons linéaires de ces deux solutions.
Enfin, ils cherchent une solution particulière du système complet par la méthode de variation de la constante.

Sinon, on peut tout à fait passer par la diagonalisation (quand on peut, ou éventuellement trigonalisation etc....), c'est une méthode générale et appropriée puisqu'elle simplifie toujours le système.

En revanche j'avoue que je ne l'ai jamais fait avec l'exponentielle de matrice mais c'est peut-être une application en effet

Bonjour acteon,

merci pour ton message, ok je comprends mieux pourquoi leur solution ne me "sautait pas aux yeux".
Et grâce à ton message je cerne un peu mieux les idées qu'il y a derrière la résolution d équation différentielle

En effet il est facile avec un peu d'entrainement d'appliquer les formules de résolution sans se poser de questions, ce qui pousse à la fainéantise de comprendre le pourquoi du comment et c'est dommage car il est important de se pencher un peu sur la théorie qu'il y a derrière.

[croco4]

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ???

x'1 = 3x1 - 2x2 + e^t
x'2 = x1 + e^t

En dérivant la 1ere équation, on a : x''1 = 3x1' - 2(x1 + e^t) + e^t
x''1 - 3x'1 + 2x1 = e^-t
Equation sans difficulté de résolution qui donne : x1(t) = (A+t)e^t + B.e^(2t) (Avec A et B des constantes réelles)

et cela remis dans l'équation 1 du système : 2x2 = 3(A+t)e^t + 3B.e^(2t) - (A+t+1)e^t - 2B.e^(2t) + e^t
x2(t) = (A+t).e^t + (B/2).e^(2t)

Si on veut présenter une méthode de résolution par des exercices ... autant choisir des exercices où la méthode apporte un plus

Bonjour Blackjack,

Merci pour ton message, j'avais commençais à faire qqch comme ça, puis je me suis emmêlé les pinceaux ^^
Je prends note de ton résultat, merci