Trouver la nature de G1 (coniques)

[SeifMaths]

Bonjour, soit l'ensemble des points M(z= x + iy) dans le repère (O,i,j) tel que (G1): 2x²+2y² = (x - 2 + y)² .
Définir (G1).

Quand je développe l'équation, je trouve x² + 4x + y² + 4y - 2yx - 4 = 0.
A cause du yx, il y aura certainement un changement de repère, mais je ne sais pas comment chercher ce nouveau repère, merci de votre aide!

[chan79]

Salut
A quelle condition un point M(x,y) est-il à égale distance de O(0,0) et de la droite d'équation x+y-2=0 ?

[Ben314]

Salut,
Tu as quoi comme cours sur les coniques ? (par exemple, sait tu déterminer de quel "type" il s'agit ?)
Sait tu que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une b.o.n. ?
Connait tu le lien matrice symétriques <-> formes quadratiques <-> coniques ?

[SeifMaths]

Salut
A quelle condition un point M(x,y) est-il à égale distance de O(0,0) et de la droite d'équation x+y-2=0 ?

Donc OM = d(O, D) avec D:y=(x-2+y)² et ainsi de suite, merci!

Salut,
Tu as quoi comme cours sur les coniques ? (par exemple, sait tu déterminer de quel "type" il s'agit ?)
Sait tu que toute matrice symétrique est diagonalisable dans une b.o.n. ?
Connait tu le lien matrice symétriques <-> formes quadratiques <-> coniques ?

On a vu les équations réduites des paraboles, hyperboles et ellipses ainsi que les tangentes et l'équation non réduite d'une parabole.
Quant à la matrice on a jamais vu ça en classe

[Ben314]

Bon, ben si on veut rester dans du "totalement élémentaire", le premier truc à repérer, c'est évidement le fait que les termes quadratiques de ton équation constituent une identité remarquable :
x² + 4x + y² + 4y - 2yx - 4 = 0 <=> (x - y)² + 4x + 4y - 4 = 0
La suite est limpide : il faut faire un changement de repère tel que M:(x,y) dans le r.o.n. de départ donne (X,Y) dans le nouveau repère avec X proportionnel à x-y c'est à dire x-y = X
Et comme dans ce nouveau repère tu aura évidement 4x + 4y = X + Y, ton équation sera (X)² + X + Y -4 = 0, c'est à dire l'équation d'une parabole.

Et en plus, là tu as de la chance vu qu'un r.o.n. t.q. X soit proportionnel à x-y, on peut pas dire qu'il y ait besoin de faire des calculs pour voir lequel prendre.

[SeifMaths]

Bon, ben si on veut rester dans du "totalement élémentaire", le premier truc à repérer, c'est évidement le fait que les termes quadratiques de ton équation constituent une identité remarquable :
x² + 4x + y² + 4y - 2yx - 4 = 0 <=> (x - y)² + 4x + 4y - 4 = 0
La suite est limpide : il faut faire un changement de repère tel que M:(x,y) dans le r.o.n. de départ donne (X,Y) dans le nouveau repère avec X proportionnel à x-y c'est à dire x-y = X
Et comme dans ce nouveau repère tu aura évidement 4x + 4y = X + Y, ton équation sera (X)² + X + Y -4 = 0, c'est à dire l'équation d'une parabole.

Et en plus, là tu as de la chance vu qu'un r.o.n. t.q. X soit proportionnel à x-y, on peut pas dire qu'il y ait besoin de faire des calculs pour voir lequel prendre.

On peut pas alors trouver les coefficients tq ? Est il possible de trouver une rotation à l'aide du complexe-similitudes?

[Ben314]

Bien sûr que tu peut (et même tu doit) calculer les valeurs de , sauf que le principe du Forum, c'est pas qu'on fasse les calcul à ta place, mais qu'on t'aide à "démarrer".

Et si le changement de repère tu veut le voir en terme de rotation ou en terme de n'importe quoi d'autre, bien sûr que tu peut. Le seul truc à comprendre c'est qu'il faut faire un changement de repère pour se ramener à une équation "plus simple".
Donc si tu préfère, tu peut dire que tu fait une rotation du repère d'un angle de , puis tu montre, avec les complexes ou autrement (si ça n'a pas été fait en cours) qu'un point M:(X,Y) dans le nouveau repère a pour coordonnées (x,y) dans le repère de départ avec , puis tu injecte ça dans ton équation et tu cherche pour quel(s) l'équation devient "simple", c'est à dire sans terme en .
A toi de voir, mais dans un cas aussi simple que celui là (avec une identité remarquable), normalement, le nouveau repère, il "saute au yeux".

[zygomatique]

salut

sans faire aussi compliqué (on est en terminale) :

si (O, i, j) est un repère orthonormé et M(x, y) un point vérifiant

alors (*)

donc en considérant le même point M(X, Y) dans le repère orthogonal (O, u, v) avec u = i - j et v = i + j alors ||u|| = ||v|| et (*)

[chan79]

le carré de la distance de M(x,y) à O(0,0) : x²+y²

le carré de la distance de M(x,y) à la droite d d'équation x+y-2=0: (x+y-2)²/2

Equation de la parabole de foyer O et de directrice d: 2x²+2y²=(x+y-2)²

Evidemment, il faut connaître la définition de la parabole par foyer et directrice

[SeifMaths]

Merci à tout le monde, c'est bcp plus clair maintenant, et puisqu'il s'est avéré que c'est un cas simple, je préfère poser Y = x+y et X = x-y comme l'a montionné @zygomatique.

Donc si tu préfère, tu peut dire que tu fait une rotation du repère d'un angle de , puis tu montre, avec les complexes ou autrement (si ça n'a pas été fait en cours) qu'un point M:(X,Y) dans le nouveau repère a pour coordonnées (x,y) dans le repère de départ avec , puis tu injecte ça dans ton équation et tu cherche pour quel(s) l'équation devient "simple", c'est à dire sans terme en .

Merci pour l'astuce, ça me serait certainement utile dans d'autres cas plus compliqués que celui la