MATHS SUITES

[FlorianM]

Bonjour à tous, voici mon exercice auquel je suis bloqué à la question 3 :

Le prix d'un article est P0. L'inflation est supposée constante et égale à 2% par an.
On note P1, P2, ..., Pn le prix de cet article après 1 an, 2 ans, n années.
Supposons que P0 = 100 euros.
1) Calculer P1, P2, P3.
Prix article = P0 =100 euros et l'inflation (raison q) = 2%.
P0 = 100 euros.
P1 = 102 euros.
P2 = 104,04 euros.
P3 = 106,121 euros.
2) Montrer que Pn est une suite géométrique. Exprimer Pn en fonction de n.
Pn = P1 x q^(n-1) = 102 - 2^(n-1) = 101.
P(n+1)/P(n) = 1/101 = 0,009.
Pn = 101^n.
3) Au bout de combien d'année(s) le prix de l'article aura-t-il doublé ?

Voilà donc la question 3 que je bloque, car je ne sais si il y a une méthode particulière en suite numérique pour trouver 200 donc.
Merci d'avance de vos éclaircissements.

[siger]

bonjour

2)
P(n+1) = P(n) * (1.02)
d'ou P(n) = P0*(1.02)^n
.......
3) P(m) = P0*(1.02)^m
Pn) = P0*(1.02)^n
si P(m) = 2P(n) on doit avoir
(1.02)^(m-n) = 2
.......

[FlorianM]

Bonjour siger, merci de m'avoir rectifier sur la question 2, mais pour la 3 il faut quelle méthode de calcul pour arriver à doubler le prix d'article de départ (100 euros) ?

[siger]

re

3) dans ce cas n=0 d'ou
m = ln(2)/ln(1.02)
pour que P(m)= 2*P0=200

[FlorianM]

Bonjour ou Bonsoir, mais ne devrai-je pas plutot calculer (comme j'ai commencé pour P1 P2 et P3) chaque année jusqu'à ce que je trouve 200 ?
Malgré que ça va me prendre un temps fou... Parce que tes calculs avec Pm je suis un peu pommé là !

[Manny06]

tu dois résoudre
Pm/Po>2 donc 1,02^m>2
tu prends les logarithmes népériens des deux membres
ln(1,02)^m>ln 2
d'après les propriétés de ln
mln1,02>ln2
m>ln2/ln1,02 soit environ 35,002 donc la plus petite valeur est m=36

[liryck]

Salut Florian,
on a vu que la suite Pn est de la forme:


n représente le nombre d'années écoulées.

Ce que tu cherches c'est le nombre d'années pour que le prix de l'article soit doublé.
donc tu cherche n tel que:

c'est à dire:

Autrement dit:

car e et ln sont des fonctions réciproques.
ensuite on applique ln des deux coté ce qui donne:

puis j'utilise le fait que:

(revois les propriétés de ln si tu ne les connais plus)
qui nous donne donc le résultat:

Que tu peux calculer à la calculatrice.

[FlorianM]

Ok j'ai compris, merci à vous tous de m'avoir éclairer !