Complexes

[ju972]

Bonjours , je suis en terminal S et j'ai du mal a faire cet exercice:

Dans le plan complexe rapporté au repère orthogonal direct (O ; u ; v) , on appelle A le point d’affixe 1 et C le cercle de centre A et de rayon 1.
La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4 cm pour unité graphique.

On considère l’application f du plan complexe qui à tout point M d’affixe z distinct de A associe le point M′ d’affixe z′ définie par:
z′ = (2z−1) / (2z−2)

1) Placer le point A et tracer le cercle C sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

2) Montrer que pour tout complexe z distinct de 1 on a:
(z′−1) (z−1)= 1/ 2

3) Montrer que pour tout point M distinct de A on a :
- AM×AM′=1/2
- M' ≠ A;
-( u;AM) + (u;AM) =0+2kπ, où k est un entier relatif

4) On considère le point P d’affixe zp = 1 + e^( iπ/4) . Construire le point P.

5) En utilisant la question3, expliquer comment construire le point P′, image de P par f, et réaliser cette construction.

6) Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Soit un point M appartenant à la droite D d’équation x = 3/4 . Soit M ′ son image par f .

(a) Montrer que le point M ′ appartient au cercle C ′ de centre O de rayon 1.

(b) Tout point de C′ a-t-il un antécédent par f ?


ce que j'ai fait:

2) j'ai réussie en développant

3) - AM*AM'=|z-za|*|z'-za|= |z-1|*|z'-1|= 1/2
- M'≠A
z'≠1
(2z−1) / (2z−2)≠1
Mais je sais pas comment le démontrer
- Je sais pas pour ça non plus

Voila ce que j'ai fait pour le moment

merci beaucoup de m'aider dans mes recherches

[Ben314]

Salut,
Tu peut écrire que, si on avait (2z−1)/(2z−2)=1, ça signifierais que 2z-1=2z-2 c'est à dire que -1=-2 ce qui est clairement absurde.
Mais tu pouvait aussi faire plus simple : tu viens de montrer que AMxAM'=1/2 et tu as vu au collège que, si un produit est non nul, ça signifie qu'aucun des termes qui le compose n'est nul donc en particulier AM' est non nul. (si tu préfère, tu le fait de nouveau par l'absurde : si on avait M'=A alors on aurait AM'=0 et donc AMxAM'=0)

[ju972]

d'accord merci beaucoup je vois tout à fait