Problème de suites

[Roxanne31700]

Bonjour, je dois effectuer un exercice portant sur des suites.
Je n'arrive pas à résoudre la dernière question, je vous demande donc votre aide pour pouvoir réussir cette question.
Voici les différentes informations que j'ai obtenu avec les questions précédentes :

Soit (un)n≥ 1 la suite définie par la relation de récurrence suivante : un+1=un – 2un^3
Avec 0<u1<1/racine(2)

On sait que pour tout n≥1, 0 < un < 1/racine(2)

La suite (un)n≥ 1 converge vers l=0+

Soit (vn)n≥ 1 la suite définie par la relation suivante :
vn= (1/un+1)-(1/un)

La suite Vn=somme(de k=1 à n)(vk) tend vers l'infini
vn ≥ (2/(1-2u1²)*un
Et Sn=somme(de k=1 à n)(uk) tend vers l'infini

La suite (wn)n≥ 1 définie par la relation suivante :
wn=(1/(un+1)²)-(1/(un²)) converge vers 4

On sait que si la suite (an)n≥ 1 converge vers l, alors la suite (bn)n≥ 1 définie par : bn=(1/n)*somme(de k=1 à n)(ak) converge aussi vers l

Et la question sur laquelle je bloque est la suivante :
Déduire un équivalent simple de un

Merci d'avance pour vos réponses.

[Ben314]

Salut,
Si tu applique ton truc concernant les suites (an) et (bn) en prenant an=wn, tu obtient quoi comme résultat ?
Et bn, en fait, il vaut combien ?

[Roxanne31700]

Merci de votre réponse.

En prenant an=wn
Je trouve que bn=(1/n)*((1/(un+1)²)-1/u1²) mais je ne vois pas quel résultat particulier j'obtiens.. J'ai essayé plusieurs choses qui ne m'ont mené à rien..

[Ben314]

C'est bien ça, mais il faudrait peut-être aussi songer à utiliser le résultat du truc en question, c'est à dire le fait que la suite (bn) converge vers la même limite que la suite (an), c'est à dire vers 4.

[Roxanne31700]

Je suis désolée, je ne vois pas comment utiliser le résultat que bn converge vers 4...

[Ben314]

bn=(1/n)*((1/(un+1)²)-1/u1²)

Partant de ça plus le fait que la suit (bn) tend vers 4, ben ça te donne quasi direct un équivalent :
Comme (1/n)(1/u1²) tend vers 0, c'est que Wn=(1/n)*(1/(un+1)²) tend vers 4 et ça signifie 1/(un+1)² est équivalent à 4n (vu que si on fait la division du premier par le deuxième, ça fait Wn/4 qui tend vers 1)
donc (un+1)² est équivalent à 1/(4n) et un+1 est équivalent à 1/racine(4n).
D'où un est équivalent à 1/racine(4(n-1)) qui est équivalent à 1/racine(4n)

[Roxanne31700]

Ahh oui d'accord !

Merci beaucoup de m'avoir aidée !!