Equation différentielle compliquée

[queenaya]

Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre cette équation différentielle sur R, vu que s'annule 3 fois ( en 0 et en ). Donc, est-ce que je dois résoudre l'équation sur 4 intervalles ( ) ?
Help Merci beaucoup!

[capitaine nuggets]

Salut !

La fonction s'annule beaucoup plus que seulement trois fois sur : elle s'annule sur l'ensemble !

Sur , cela revient à résoudre .
Il te suffit alors de connaître/trouver une primitive de et de trouver une solution particulière.

Pour , tu as .

[zygomatique]

salut

quand sin x <> 0

... et pas le bon forum ...

[queenaya]

Salut!
Merci pour vos réponses. Mais je suis encore perdue. Quand on recherche les solutions homogènes, on aura : , et là on doit enlever la valeur absolue sauf que je ne connais pas le signe de sur \ ( à part que le négatif en et positif sur ...) Vous en pensez quoi ?

PS: Pourquoi ceci n'est pas le bon forum?

[Ben314]

Salut,
Sinon, concernant le principe de ce type d'équation, tu n'a effectivement pas le choix :
1) Tu doit dans un premier temps la résoudre sur chacun des intervalles sur lesquels le coeff. devant le y' est non nul (donc ici sur une infinité d'intervalles) en faisant évidement attention au fait que les "constantes d'intégrations" qui apparaissent systématiquement n'ont aucune raison d'être les mêmes sur chaque intervalle.
2) Tu doit ensuite regarder à quelle condition (sur les fameuses "constantes d'intégration") ces solutions peuvent se "recoller" de façon à former une fonction définie, continue et dérivable sur R tout entier : il est en général sous entendu que la fonction cherchée dans une telle équation différentielle doit être dérivable sur R tout entier et pas uniquement dérivable aux points où le coeff. devant le y' est non nul (il peut y avoir des exceptions à cette règle sous entendue, tout dépend du contexte d'où sort l'équa. diff en question)

[Ben314]

Vous en pensez quoi ?

Déjà, que c'est forcément faux vu que tu n'a aucune "constant d'intégration" : toute les méthodes basique de résolutions d'équa.diff. ramènent le problème initial à un calcul de primitive et une fonction donnée, elle admet une infinité de primitives (c'est "à une constante près") donc dans ta solution, il doit forcément y avoir une "constante arbitraire" qu'on peut choisir "au pif".
Une autre façon de voir le truc, c'est que pour avoir un problème "complet" en physique par exemple, il faut non seulement connaitre la règle qui régit le mouvement (=équa. diff .), mais il faut aussi connaitre les "condition initiales", sinon on a une infinité de solutions (correspondant au fait qu'on a une infinité de "situations initiales" possibles). Par exemple, j'espère que c'est clair que, si on te dit qu'on jette un caillou de telle masse (avec g=9.81, en négligeant la résistance de l'air, etc, etc...) et qu'on te demande à quelle distance il va tomber, ben il te manque un peu des "condition initiales" pour répondre...

P.S. Et c'est justement la façon dont tu rédige le truc qui fait qui explique pourquoi, bien qu'enseignant l'intégration et la notion de primitive depuis plus de 30 ans, je n'ai jamais utilisé le symbole sans bornes pour désigner une primitive de (Fonction multivaluée = piège à c... pour les débutants).
Écrire à la place n'est vraiment pas beaucoup plus long à écrire et ça permet de bien avoir en tête deux choses qui peuvent éventuellement échapper aux novices :
1) Le xo est arbitraire donc on a un résultat qui dépend de xo, c'est à dire en fait un résultat "à une constante près".
2) Si la fonction est définie par exemple sur R* qui n'est pas un intervalle, alors si on prend xo>0, le truc qu'on obtient n'aura de sens que pour x>0 et, si on prend xo<0, il n'aura de sens que pour x<0. Et cela a pour conséquence évidente que la "constante d'intégration" qu'on prend pour x>0 n'a aucune raison d'être la même que celle pour x<0.

[mathelot]

i) l'équation admet comme solution particulière évidente
ii) sinus étant continue, un intervalle où est un intervalle où le sinus garde un signe constant
iii) la résolution de l'équation homogène conduit à
oùest une constante positive
comme les trois facteurs gardent un signe constant par intervalle ( est localement constante
et le domaine est un intervalle donc est constante par intervalle), on trouve donc
où est n'importe quel réel. Cette solution est définie sur R
tout entier et donc c'est une solution maximale