DM Maths TS coefficient binomiaux

[Crocephain]

Bonjour à tous

Je bloque actuellement sur un DM portant sur les coefficients binomiaux
Voici les questions sur lesquelles je bloque :

"Les coefficient binomiaux sont les nombres, ( n / p )ou n et p sont des entiers vérifiant, 0<=p<=n, défini par ;
( n / p )= n!/(p!(n-p)!)

1. Démontrer que pour tout entier entier naturels p et k :
Somme de ( n p ) pour n allant de p à p+k = ( p+1+k / p+1 ).

2.a. Donner 3 polynômes P0, P1 et P2 tels que pour tout entier p compris entre 0 et 2 et tout entier n>=p.
Pp(n) = ( n / p )

b. Déterminer trois nombre α0, α1, α2 tels que pour tout réel x :
x² = Somme de αp*Pp(x) pour p allant de 0 à 2.

c. En déduire un polynôme, S2 tel que pour tout entier naturel, n :
Somme de k² pour k allant de 0 à n = S2(n)"

Pour 2.a j'ai trouvé que p0(n) serait égal à 1 car lorsque p = 0, ( n / p )= 1 mais je ne sais pas trouver le polynôme ensuite.
Puis j'ai trouvé P1(n)=n et P2(n)= ( n-1 / p ) + ( n-1 / p-1 ) mais pareil je reste bloqué

Merci

[Pseuda]

Bonsoir,

A mon avis, tu peux simplifier ta formule de P2(n) en repartant de la définition des coefficients binomiaux.

Ensuite, par exemple, quel est le polynôme P1 tel que P1(n) = n pour tout n ?

[Crocephain]

Comme ( n / p ) + ( n / p+1 ) = ( n+1 / p+1 ) alors P2(n) = ( n-1 / p-1 ) + ( n-1 / p ) = ( n / p ) ?

Pour P1, le polynôme 2n-n ? Mais il serai égal à n ce qui revient à dire n = n. Ça semble bête mais je ne trouve pas

[Pseuda]

P2(n) = ( n / 2) tout simplement = .... ??

Je t'aide, P1(n) = n, donc le polynôme cherché est : P1(x) = x.

[Crocephain]

Désolé mais je ne comprend juste pas comment je peux parvenir à un polynôme avec ces expressions là ?

[Pseuda]

Il faut trouver 3 polynômes différents.

P0(n) = 1 pour tout n. Le polynôme P0 tel que P0(x)=1 vérifie cette relation : P0(n) =1 pour tout n. Dans cette question, on ne demande pas plus de donner un polynôme qui fonctionne.

En fait on démontre qu'il n'en existe qu'un seul (qui prend des valeurs données pour un nombre infini d'éléments), mais ce n'est pas au programme de TS.

[Crocephain]

D'accord merci, vous auriez des pistes pour les autres questions ? Je bloque aussi.

[Pseuda]

As-tu trouvé P0, P1 et P2 ?

b) Ensuite il faut trouver tels que pour tout x.

Cela se fait par identification sur les coefficients des 2 polynômes à droite et à gauche du signe égal.

[Crocephain]

Pas encore, à vraie dire, j'ai du mal à comprendre le rôle de (n) dans P0(n) mais là, il faut que je dorme, je continuerai de chercher demain, merci.