Probabilité

[Maths-ForumR]

Bonjour,
J'ai un petit problème de probabilité :

A1,A2,...,An... (un nombre infini de joueur) s'affronte a pile ou face avec une pièce bien équilibrée de la façon suivante :
-A1 et A2 commencent, le perdant est éliminé.
-Le gagnant du match A1 contre A2 rencontre A3, le perdant est éliminé
-Le gagnant du match A1 contre A3 (ou A2 contre A3) rencontre A4, le perdant est éliminé
-etc
-Est déclaré vainqueur le joueur qui gagne trois parties consécutives et le jeu s'arrête.

On veut calculer pn la probabilité que le joueur An gagne
On note:
-Jn l'évènement : An jouent
-Gn l'évenement : An gagne le tournoi
-pn=P(Gn)et qn=P(Jn)

Donner l'expression de pn pour n>=1

[zygomatique]

salut

pour que An gagne il faut qu'il joue et qu'il gagne trois parties ... donc il n'y a pas grand chose à dire de plus ...

il semble bien que q_1 = q_2 = 1 puisque A1 et A2 jouent forcément !!!

que peut-on dire tout aussi immédiatement de q_3 et q_4 et pourquoi ?

[beagle]

...................

[Maths-ForumR]

Pour la question suivante je dois appliquer la formule des proba totale mais je e vois pas quel est le système complet d'évènement..

[Ben314]

Salut,
Il y a un truc que je comprend "pas trop guère" : vu la règle du jeu, il me semble que le joueur An au mieux, il joue une (et une seule) partie or est déclaré gagnant un joueur gagnant trois partie consécutive.
Donc, à mon sens, il n'y a pas l'ombre d'un doute, p(An gagne)=0...

Comme a mon avis, c'est pas ça la réponse attendue, c'est qu'il y a un souci dans la formulation de l'énoncé :
- Soit il faut préciser que, après An, la série continue avec de nouveau A1,A2,... (i.e. que si un matcha An<->Ak se joue et qu'il ne se termine pas par une 3em victoire de Ak alors le gagnant joue contre A1, etc...)
- Soit il y a une faute de frappe et c'est la proba que Ak gagne qu'il faut calculer (avec k entre 1 et n-2 vu que les règles font que An et A(n-1) ne peuvent pas gagner) ou, de façon équivalente, le nombre de joueur est N avec N >= n+2 ou, de façon "quasi" équivalente, les joueurs, c'est A1,A2,...,An,... c'est à dire qu'il y a une infinité de joueurs (c'est peut-être l'erreur d'énoncé qui me semble la plus plausible)
- Soit il y a une autre erreur d'énoncé ailleurs.
- Soit... j'ai rien compris à l'énoncé...

[Maths-ForumR]

Oui je pense qu'il faut comprendre qu'il y a une infinité de joueur

[Pseuda]

Bonjour,

Je trouve (pas 3/4). Oui, je pense qu'il faut considérer que le nombre de joueurs est infini (il manque les ..... au début de l'énoncé après An).

[Maths-ForumR]

Comment tu trouve 7/8 ?

[zygomatique]

un arbre donne toutes les réponses ...

[Maths-ForumR]

Consigne de notre professeur : On ne doit pas utiliser d'arbre !

[zygomatique]

arbre.png (20.15 Kio) Vu 598 fois

un exemple d'arbre ... à bien interpréter ...

[zygomatique]

Consigne de notre professeur : On ne doit pas utiliser d'arbre !

Mais même avec un arbre je trouve q_5=3/4

et alors ? ton prof est dans ton dos ?

on peut toujours faire un schéma qui n'est qu'un support pour la réflexion et ensuite traduire proprement (= avec des formules ou un théorème) ce que l'on voit ....


je trouve donc aussi 3/4

[Maths-ForumR]

Très bien par contre je bloque a la qestion : pour n>=4 calculer qn a l'aide de qn-1 et qn-2

[Ben314]

Si on modifie l'énoncé (pour le rendre "plausible") et qu'on considère qu'il y a une infinité de joueurs, et... si je me suis pas gourré dans les calculs, je trouve que :
p(An gagne)=1/8 pour n=1 et n=2 puis, pour n>=3, p(An gagne)= où F_k désigne le k-ième nombre de Fibonacci, i.e. F0=0 ; F1=1 et F_n=F_{n-1}+F_{n-2} pour tout n>=2 (et donc avec et )

[Maths-ForumR]

P(Jn) est que le joueur An joue et non que le joueur An gagne

[Ben314]

Il n'y a pas a "avoir vu" ou "ne pas avoir vu" la "notion de suite de Fibonnacci", c'est une suite (presque) comme les autres, sauf que, vu qu'elle est particulièrement simple, elle apparait souvent dans des exos et/ou des phénomènes concret relativement simple. Donc on lui a donné un "petit nom".

[Ben314]

Et si c'est plutôt ça que j'ai calculé et pas autre chose, c'est du fait que j'ai évidement pas lue les question posées : j'ai lu l'énoncé, puis vu qu'il était clairement faux et donc j'ai rien lu de plus.

Ensuite, lorsque j'ai vu qu'avec un énoncé différent (i.e. une infinité de joueurs), on pouvait avoir un truc rigolo, j'ai cherché à calculer le premier truc qui m'est venu à l'esprit, à savoir la proba que le n-ième joueur gagne.
Mais comme ça me gonfle passablement le temps perdu à chercher à reconstituer les énoncés foireux, ça fait un bail que, lorsque c'est foireux, j'attends que l'énoncé soit rectifié avant d'essayer de suivre les directives de l'exercice.

[zygomatique]

et de toute façon c'est la seule et unique question de l'exercice ... et à se poser ...

les autres ne sont que des étapes pour arriver à répondre à cette question ....


si je suis la 100 000 ième personne à jouer ce qui m'intéresse c'est ma probabilité de gagner (pas de jouer même si pour gagner il faut que je joue) ... quitte à devoir tuer les 999 999 personnes qui sont devant moi pour augmenter considérablement mes chances de victoire ....

[Maths-ForumR]

-J'ai recopié l'énoncé que l'on ma donné.

[Ben314]

-J'ai recopié l'énoncé que l'on ma donné.

Alors y'a pas la moindre ambiguïté concernant la réponse que tu doit donner concernant la proba que An gagne : p(An gagne) est trivialement nul vu qu'il est impossible qu'il joue 3 parties.
Par contre la question de savoir s'il va jouer ou pas est plus intéressante et, à mon avis, la bonne façon de l'appréhender, c'est de voir une "partie" comme une suite de "G" et de "P" où le fait qu'il y ait un "G" en n-ième position signifie que c'est le joueur n+1 qui a gagné la partie numéro n (tu est sûr qu'il fait parti des joueurs de la n-ième partie).
Avec ce point de vue, la partie s'arrête lorsque
- Soit les 3 premiers résultats sont "PPP" (<=> A1 gagne)
- Soit lorsque pour la première fois apparait la séquence "GPP" ("??GPP" <=> A4 gagne)