Suite adjacentes

[mamo]

Coucou tout le monde, voici un nouvel exercice qui me donne du fil à retorde !

Soit une fonction f : {0,1} -> {0,1}
1. Montrer que si f est continue, alors elle admet (au moins) un point fixe, ce qui signifie qu'il existe (au moins un) \alpha tel que f(\alpha) = \alpha
( Indice : utiliser le TVI)

2. Donner un exemple de fonction f: {0,1} -> {0,1} n'admettant pas de point fixe.

3. On suppose désormais que f: {0,1} -> {0,1} est croissante; on veut montrer que f admet un point fixe. On construit pour cela par récurrence deux suites (an) avec n un entier et (bn) avec n un entier de la façon suivante: a0= 0, b0 = 1 et une fois construits an et bn pour un certain n entier, an+1 et bn+1 sont définis par :
(an+1, bn+1) = (an, (an + bn)/2) si f((an + bn) /2) \leq (an + bn) / 2
Sinon = ( (an + bn)/2 , bn )
i) Montrer que les suites ainsi construites sont adjacentes.
ii) Montrer que \alpha := lim n-> +∞ an est un point fixe de f.


J'ai tout à fait compris et réussi les 2 premières questions grâce à un forum mais la 3ème me bloque vraiment... Pouvez vous m'aider sur celle - ci?

Merci d'avance !

[zygomatique]

ça m'étonnerait ...

http://www.ilemaths.net/sujet-tvi-709819.html

...

[mamo]

Oui pardon j'avais oublié de précisé que l'on m'avait aidé...