Suites adjacentes

[hazaki]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire pour le prochain td et je bloque sur la deuxième question.

Soit Un=(Somme de k=0 à n) de 1/k!
Vn=Un+1/(n*n!)

J'ai démontré que Un et Vn sont adjacentes, on admet que leur limite commune et e.

Je dois montrer que e est irrationnel.
Je sais que je dois le faire par l'absurde tel que e=p/q. Mais je ne sais pas comment faire
Merci de bien vouloir m'aider

[Ben314]

Effectivement, montrer qu'un réel est irrationnel, ben souvent ça se fait par l'absurde.
Ici, si tu suppose que e=p/q, écrit que U(q+1)=

[benekire2]

Salut !

Grâce à l'encadrement que tu obtient immédiatement avec l'adjacence de tes suites ( en posant e=p/q) et en multipliant par q! tu va pouvoir montrer ( en principe) qu'un entier est strictement compris entre deux consécutifs , conclusion ?

EDIT. Grilled By the Great Ben ,

[hazaki]

Bonjour,
j'ai q!uq = (somme de k=0 à q) q!/k!
et q!vq= q!uq + 1/q.
Est-ce bon ?

[arnaud32]

salut,

que peux tu conclure concernant:
1) la nature de
2)

[hazaki]

1) uq*q! est un entier .
2) et l'expression que tu donnes est égales a q!(e-uq)

[arnaud32]

oui u_q*q! est un entier et l'expression que je t'ai ecrite est aussi un entier qui est compris entre 0 et 1/q ... (avec q>1 ...

[hazaki]

Ok, mais je vois pas quoi conclure avec ça....

[arnaud32]

et bien un entier compris entre 0 et 1/q <1 ne peut etre que 0 ...
et donc tu as u_q = p/q = e

a toi de conclure

[hazaki]

Ok mais comment tu sais que u*q = e ?

[arnaud32]

reprenons,

tu as p*(q-1)! - q!*u_q qui est un entier compris dasn [0,1[
c'est donc 0
p*(q-1)! - q!*u_q=0 implique (en divisant pa q!) p/q - u_q=0 donc u_q=p/q=e

tu as alors
or (u_n)n est une suite strictement croissante de limite e ce qui amene a une contradiction.

[Ben314]

(Re)salut,
Perso, j'aurais écrit (ce qui revient au même mais me semble un soupson plus court) :
Si alors donc

Comme est entier pour , le nombre est entier et l'inégalité ci dessus s'écrit :

Ce qui implique que qui est clairement absurde.

[Doraki]

Pour tout n, Un * n! est un entier.

Soit (p/q) une fraction, avec q>0.

Alors q!*(p/q) est un entier A qui est dans l'une des deux situations suivantes :
ou bien A <= Uq * q!, ou bien A >= Uq * q! + 1.

Si A <= Uq * q!, alors A <= Uq * q! <= e * q!, et donc en divisant par q!, p/q < e
Si A >= Uq * q! + 1, alors A >= Uq * q! + 1 >= Vq * q! > e * q!, et donc en divisant par q!, p/q > e

Donc p/q est différent de e.

[hazaki]

Mais comment tu sais que p*(q-1)!-uq*q! est compris entre 0 et 1 ?

[hazaki]

Non c'est bon j'ai compris