Montrer que 2 suites sont adjacentes

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Rik95
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montrer que 2 suites sont adjacentes

par Rik95 » 07 Nov 2014, 18:21

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour cette exo svp, quoi que j'essaye je n'arrive a rien je tourne en rond ...

soient a > 0 , b > 0 et b > a

U0 = a , Un+1 = racine(UnVn)

V0 = b
Vn+1 = (Un+Vn)/2

montrer que Un et Vn sont adjacentes



DamX
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par DamX » 07 Nov 2014, 19:21

Bonjour,

montre par récurrence que Vn>Un, Un+1>Un et Vn+1
Damien

Rik95
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par Rik95 » 07 Nov 2014, 19:35

[quote="DamX"]Bonjour,

montre par récurrence que Vn>Un, Un+1>Un et Vn+1Un ? on sais juste que V0>U0

DamX
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par DamX » 07 Nov 2014, 19:47

Rik95 a écrit:Merci pour ta reponse je vais essayer, mais comment etre sur que Vn>Un ? on sais juste que V0>U0


si tu prends deux réels positifs a et b, que peut-on dire de la moyenne géométrique racine(ab) par rapport à la moyenne arithmétique (a+b)/2 ?

Pythales
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par Pythales » 07 Nov 2014, 20:00

Rik95 a écrit:Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour cette exo svp, quoi que j'essaye je n'arrive a rien je tourne en rond ...

soient a > 0 , b > 0 et b > a

U0 = a , Un+1 = racine(UnVn)

V0 = b
Vn+1 = (Un+Vn)/2

montrer que Un et Vn sont adjacentes


et tu développes

Rik95
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par Rik95 » 07 Nov 2014, 20:44

En effet je vois ce que tu veux dire Damx ^^

Euh d'ou viens cette inégalité Pythales ? :o

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zygomatique
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par zygomatique » 07 Nov 2014, 21:36

DamX a écrit:si tu prends deux réels positifs a et b, que peut-on dire de la moyenne géométrique racine(ab) par rapport à la moyenne arithmétique (a+b)/2 ?


salut

où l'on voit que ce n'est pas l'initialisation qui importe mais l'hypothèse de récurrence !!!

on te demande de montrer que les suites sont adjacentes donc l'une est croissante, l'autre est décroissante et l'une est plus grande que l'autre (puisque deux suites adjacentes ont même limite ...)

on a donc deux cas :: u ax et x --> bx avec a > 0 et b > 0) donc

a aa [TEX] \sqrt {a^2} a + a a < (a + b)/2 < b

qui conduit donc à poser l'hypothèse de récurrence : .... ?

:zen:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Rik95
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par Rik95 » 08 Nov 2014, 18:50

Ok merci, donc je suppose que (a+b)/2 > racine(ab) et j'essaye de le démontrer par récurrence

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zygomatique
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par zygomatique » 08 Nov 2014, 19:39

Rik95 a écrit:Ok merci, donc je suppose que (a+b)/2 > racine(ab) et j'essaye de le démontrer par récurrence


:doh: :triste: non on le démontre ...

puis ensuite on s'en sert pour ::

l'hypothèse à démontrer est

et on démontre en même temps que u est croissante et v est décroissante

sinon on considère directement l'hypothèse

....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Rik95
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par Rik95 » 13 Nov 2014, 16:39

Ok merci :)

underfaywu
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par underfaywu » 04 Déc 2014, 03:00

Bonsoir et comment vous montreriez que la suite :

(Un+1 - Vn+1)[n]= (Un+Vn - 2racine(UnVn))/2

=((Un-Vn)^2 - 2UnVn ) / 2(Un+Vn+2racine(UnVn))

=(Un-Vn)^2 / 2(Un+Vn+2racine(UnVn))

tend vers 0 s'il vous plaît ?

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Ben314
Le Ben
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par Ben314 » 04 Déc 2014, 09:46

Salut,
Vu ce que tu as déjà établi, tu sait que Un->L et Vn->L' et, si tu passe à la limite dans la formule V(n+1)=(Un+Vn)/2 ça te donne...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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zygomatique
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par zygomatique » 04 Déc 2014, 17:58

underfaywu a écrit:Bonsoir et comment vous montreriez que la suite :

(Un+1 - Vn+1)[n]= (Un+Vn - 2racine(UnVn))/2

=((Un-Vn)^2 - 2UnVn ) / 2(Un+Vn+2racine(UnVn))

=(Un-Vn)^2 / 2(Un+Vn+2racine(UnVn))

tend vers 0 s'il vous plaît ?


:zen:
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

underfaywu
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par underfaywu » 04 Déc 2014, 22:18

okai merci

 

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