Bizarrerie avec un domaine de définition [HELP PLEASE]

[Supermoine]

Bonjour tout le monde,
je ne sais pas si le sujet a été abordé précédemment mais en faisant un exercice sur les limites de fonctions, je suis tombé sur une étrangeté que je n'avais jusqu'alors jamais rencontrée :

J'avais une fonction f(x) = (x² - 3x + 2) / (x² - 4)

jusque là rien de bien méchant, je cherche mon domaine de définition et je me dis "ohlala mon petit Supermoine il semblerait bien que ça soit défini sur R à l'exception de [-2] et [2].

Alors je cherche mes limites et tout ça et pour ce faire je factorise ma fonction :

Puisque : x²-3x+2 = (x-2)(x-1) et x²-4 = (x-2)(x+2) j'écris f(x) = (x-1) / (x+2)


(tout le monde suit, jusque là ? parfait ! Vous me dites si c'est déjà moi qui me plante)

Et là, ho surprise ( ! ) ma fonction n'est toujours pas définie en [-2] mais pas de problème en [2] de toute évidence.

Alors de trois choses l'une :
-soit je suis très nul et j'ai mal factorisé etc,
-soit le domaine de définition dépend de la forme sous laquelle on écrit une fonction,
- soit y a une règle qui s'applique à ce cas là et que je ne connais pas ^^


Merci d'avance pour vos futures réponses et remarques, car je ne trouve d'explication nulle part.

[anthony_unac]

Bonsoir,
A quelle(s) condition(s) une fonction est elle définie en un point ?

[Lostounet]

Salut

Tous tes calculs sont corrects. Mais c'est la fonction qui t'a réservé une surprise!

En effet, les valeurs interdites sont les valeurs pour lesquelles tu as une forme "nombre/0". Il est sous entendu que le nombre du haut est non nul.
Il se trouve que ici si tu essayes de calculer f(2) tu trouves 0/0 qui est une indétermination (on ne sait pas ce que ça vaut) due au fait que le numérateur et le dénominateur ont même racine x=2.

Donc lorsque tu as simplifié entre eux le numérateur et le dénominateur, la forme 0/0 a disparu. C'est un phénomène rare: tu as prolongé ta fonction par continuité en x=2

Donc on avait un problème apparent en x=2 qu'on a pu gommer par la suite. C'est pas tous les jours que ça arrive, profitons-en.

[Lostounet]

Imagine tu avais la fonction:
F(x)=(x-2)/(x-2)^2
Tu as un problème apparent en x=2 mais f(2) donne 0/0
Si tu simplifies f en 1/(x-2) malheureusement le problème y est toujours (contrairement à dans ton exo). Donc on ne pourra pas se débarrasser du pb dans ce cas, tu vois?

[Supermoine]

Wow merci beaucoup pour cette réponse

ça veut dire que malgré les apparences ma fonction est bien définie en x=2 (parce que sur le cours du CNED où j'ai pêché cet exercice, la correction indiquait clairement que la fonction n'était pas définie -_- et j'aurais dû me fier à mon graphique de Google du coup ^^).

En tout cas c'est vrai qu'avec ton exemple elle ne l'est toujours pas, y a-t-il une règle qui permette de déceler à l'avance ce genre de phénomène ?
parce que si un exercice nous demande le domaine de définition, et qu'on le calcule sans avoir besoin de factoriser, on risque de répondre faux malgré les apparences non ?

[Lostounet]

Ben s'il faut être super rigoureux, f n'est pas définie en 2 mais elle est prolongeable au point 2 (en une fonction g qui est égale à f partout sauf en 2 et qui en 2 vaut g(2)=1/4) mais bon. On voit bien qu'elle n'a pas de pb en 2.

En fait ce qui devrait te mettre sur la voie c'est de voir ce qui se passe au point problème. La forme 0/0 indique un problème!
Mais la forme genre 4/0 est claire qu'en ce point: valeur interdite

Par exemple si tu as la fonction qui à x associe sin(x)/x tu as envie de dire qu'elle est pas définie en x=0. Mais sin(0) =0 donc tu vois bien que la forme est 0/0 et qu'on ne peut pas trancher directement.

Il existe plusieurs méthodes pour lever cette forme 0/0: simplifier si c'est un quotient de fonctions polynomiales marche bien mais il existe aussi d'autres techniques, comme pour voir si sin(x)/x est définie en 0. Tu pourras pas la simplifier comme ici, il va falloir chercher plus fort

[Supermoine]

OK merci beaucoup, je retiendrai que quand j'exclus des points pour cause de division par 0 je vérifierai aussi mon numérateur =)

Du coup ça m'amène à deux questions ou trois (oui ça m'a fait beaucoup réfléchir) : il existe bien des fonctions non définies en un point et qui font un saut (par exemple une limite par valeurs inférieures égale à 5, et par valeurs supérieures égales à 7), non ?
Quand je croise une limite finie en un nombre fini et qui est la même des deux côtés de ma valeur exclue, est-ce que ça veut toujours dire qu'elle est prolongeable ?

Pour reprendre sur la rigueur je dois partir du principe qu'elle n'est pas définie puis calculer la limite pour constater qu'en fait elle est prolongeable ? graphiquement que devrais-je dessiner ?
Désolé si je suis un peu insistant mais j'ai pas grand monde à qui poser la question et ça me rend très curieux tout ça.



EDIT : pour répondre moi même à ma question, j'ai envie de dire intuitivement que dans un sens mon numérateur semble "plus valoir x" que mon dénominateur, qu'il la domine presque en quelque sorte, que mon dénominateur est moins proche de 0 que mon numérateur quand x tend vers 2. C'est compliqué à expliquer parce que c'est pas comme quand on a des exposants différents et qu'il y en a un qui domine l'autre (c'est pas ce qu'on dit d'ailleurs avec les sinus et cosinus quand on a la flemme de démontrer ? :p )

[Lostounet]

Oui si la limite est idem à gauche et à droite il n'y a pas de problème de continuité. Elle est prolongeable.

Il vaut mieux pour prolonger justifier pourquoi on a le droit de faire. En termes de limite à gauche et à droite, la justification est suffisante par exemple.
À un niveau plus élémentaire il suffit de simplifier le quotient ou d'utiliser une règle du cours.

Graphiquement vu que c'est un tout petit point ... ben on le voit à peine tant que tu as compris, je pense pas que tracer est un pb.

[Supermoine]

ok merci bien, j'avoue que je me voyais pas faire des petits crochets microscopiques sur ma courbe en vérité surtout pour les faire au même point ^^

[Lostounet]

Je pense que le prof qui te reprocherait de pas avoir mis deux crochets au même point est...con.

[anthony_unac]

Bon ça c'est dit !