Géométrie

[manon84]

Bonjour
voici mon exercice :
Un cercle (C) et plusieurs et plusieurs segments. On dispose des informations suivantes :
* [AB] est un diamètre du cercle (C) de centre o et de rayon 7,5 cm.
* K et F sont deux points extérieurs au cercle (C)
*Les segments [AF] et [BK] se coupent en un point T sur le cercle (C).
*AT=12 cm, BT=9cm, TF=4cm, TK=3cm.

1. Démontrer que le triangle ATB est rectangle.
D'aprés le théorème de pythagore [color=#0000BF], si dans un triangle le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle.
Si AB carré = AT carré + BT carré

AB carré = 12 carré + 9 carré
AB carré = 144+81
AB carré = 225
AB = racine carré de 225
AB = 15 cm
Donc
15 au carré = 225
12 au carré + 9 au carré = 225
l'égalité de pythagore est vérifiée, le triangle ATC est donc rectangle en T./color]

2. Calculer la mesure de l'angle BAT arrondie au degré prés.
Le triangle BAT est inscrit dans le cercle (C) et le côté [AB] est un diamètre du cercle (C) : il est donc rectangle en T.
Donc les anglesTAB et TBA sont complémentaires.
D'où TAB = 90 - TBA
Par ailleurs, OT=OB, donc le triangle TOB est isocèle en O; ses angles à la base OTB et OBT ont donc même mesure. La somme des angles TOB étant égale à 180°, on a alors :
TOB = 180 - 2 x TBA
Le soucis c'est que je ne connais pas l'angle B ???
Peut on me corriger jusque là
Merci par avance

[Lostounet]

Hello,

Puisque T appartient au cercle, ABC est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre [AB], donc ABT rectangle en T (ou bien tu peux utiliser la réciproque du thm. de Pythagore mais c'est rare d'avoir autant de longueurs...)

Pour la question 2, une indication: pense au cosinus !

[manon84]

Bonsoir
En faite pour la question 1 pas besoin de faire le théorème de pythagore du moment que T appartient au cercle, BAT est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre AB, donc ABT rectangle en T.
Pour la question 2 :
Dans un triangle rectangle , le cosinus d'un angle est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.
COS = AT/AB
COS = 12/15
COS = 0,99° ???

*3 ) Les droites (AB) et (KF) sont elles parallèles ?
D'aprés la récipropque de Thalés, on calcule séparément les rapports :
FT/FA et KT/KB et on montre s'ils sont égaux :
FT/FA = 4/12+4
FT/FA = 4/16
FT/FA = 1/4

et

KT/KB = 3/9+3
KT/KB = 3/12
KT/KB = 1/4

FR/FA = KT/KB donc d'aprés la réciproque de thalés les droites (KF) et (AB) sont parallèles.

4) Calculer l'aire du triangle TKF :
Aire du triangle : b x h /2
D'aprés le théoreme de thalés on a :
K,T,B sont alignés
F,T,A sont allignés
(AB)//(KF)
TF/TA=KF/AB
KF= TF x AB /TA
KF = 4 x 15 /12
KF = 5 cm
Ne connaissant pas la hauteur on peut calculer l'aire d'un triangle avec la formule de Héron :
- le périmètre P d'un triangle est défini par la formule :
P = TF + TK + KF
P = 4 + 3 + 5
P = 12 cm
- La formule de Héron permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque à partir de son demi-périmètre p :
p =P/2
p = 12/2
p = 6 cm
Surface = grande racine carré de p(p-TF)(p-TK)(p-KF)
S = grande racine carré de 6(6-4)(6-3)(6-5)
S= grande racine carré de 6 x 2 x 3 x 1
S = racine carré de 36
S = 6 cm carré

Merci pour la correction

[siger]

re
S'il n'est pas trop tard.......

2/
pas de cos en degres!
cos(BAT) = 12/15 = 4/5=0.8
BAT = 50.3° (a verifier avec ta caiculette!)
3/
OK
4/
quelle complication!
l'angle KTF opposé par le sommet a ATB est un angle droit, donc la triangle KTF est rectangle
d'ou
Aire (KTF) = .....

[manon84]

Bonjour Siger
Pour la question 4
KTF = 3 x 4 / 2 = 6 cm carré