Comprend pas trop

[Darcky]

voila ben j'ai un DM pour lundi et je mis met maintenant mais le premier exo me pose des problemes, je suis en Terminale S .

ennoncé :

soit f une fonction continue et definie sur [0;1] et à valeur dans l'intervalle [0;1]. Demontrer que f admet ( au moins ) un point fixe dans [0;1]


voila, l'ennoncer se resume a ca, je n'ai pas la fonction et je voi pa tellement sur koi il fo que je parte, ni quoi faire pour arriver a la bonne réponse.
merci a ceux qui peuvent me filer un coup de main

[Imod]

Essaie de considérer g(x)=x-f(x) .

Imod

[nada-top]

bonsoir ,

démontrer que f admet au moins un point fixe , revient à démontrer qu'il existe t.q f(c) = c .

donc il suffit d'étudier la fonction définie par: g(x) = f(x)-x et appliquer TVI .

bon courage .

[Darcky]

je suis d'accord mais a vrai dir je voi pa trop que faire avec g(x)=x-f(x) je doit demontrer que f a des point fixe dans [0;1] mais ajouter une autre fonction inconnu ne va pas plutot me compliquer les choses?

[Darcky]

ah je voi mieix maintenant. merci beacoup je vais essayer de travailler avec ceci. mais pourais-tu m'expliquer pourquoi on prend g(x)=f(x)-x ?

[Zebulon]

Bonsoir,
quels sont les signes de g(0) et g(1), avec g comme introduite par nada-top?

[nada-top]

merci beacoup je vais essayer de travailler avec ceci. mais pourais-tu m'expliquer pourquoi on prend g(x)=f(x)-x ?

rappel : si est continue sur [a,b] et , alors selon TVI : il existe t.q :

donc maitenant si tu démontre qu'il existe t.q g(c) = 0 , tu auras soit .cqfd

[Darcky]

donc si je comprend bien il faut que je fasse g(0)=f(0)-0 soirt g(0)=f(0) et g(1)=f(1)-1 , mais je ne voi pas ce que je peu en deduir.

[Zebulon]

Soit , g(x)=f(x)-x.
On sait que f est à valeurs dans [0,1] ce qui s'écrit encore :
pour tout , . Déduisez-en le signe de g(0) et de g(1).

[nada-top]

f une fonction continue et definie sur [0;1] et à valeur dans l'intervalle [0;1].

c-à-d que f est définie de i.e et ...donc?

[Darcky]

donc j'arrive ces encadrements :

0 < g(0) < 1 et -1 < g(1) < 0

de la je dis que sur [0;1] g(x) et strictement decroissante et continue, qu'il existe bien c e [0;1] tq g(c)=0 et je conclu

[nada-top]

de la je dis que sur [0;1] g(x) et strictement decroissante et continue, qu'il existe bien c e [0;1] tq g(c)=0

d'abord g(x) est un nombre et g c'est la fonction .
ensuite on cheche pas à démontrer la stricte monotonie de g , mais juste .

donc moi je dirais : g est continue sur [0,1] et on a , donc : .

[nada-top]

on cheche à démontrer la stricte monotonie , si on veut prouver l'unicité d'un tel c (il existe un unique c ..)... mais maintenant il suffit de prouver l'existence de c (il existe au moins un c ..) ...dans ce cas on prouve que (+la continuité).

ok??