[Dénombrement] Une histoire de chameaux : exercice trop trop

[Ivanovich]

Bonsoir à tous j'ai un DM de fou à faire, j'ai fait 3 exos sur 4 mais il en reste un sur les denombrement que je ne comprends absoluement pas, le voici :



Voila si quelques uns peuvent m'expliquer petit à petit l'exercice en detaillant un minimum (j'ai vraiment du mal a comprendre bien les denombrements)

Merci d'avance.

[crassus]

bien ...a) il y'a autant de choix que de combinaisons de p chameaux parmi np ce qui donne ce que je noterai [np / p] nombre de combinaisons ed p éléments dans un ensemble à np éléments ... OK ?

b) POUR LE SECOND FILS il ne reste que np-p chameaux n'est ce pas

ce qui fait donc [np-p/ p] =[(n-1)p/p]choix possibles OK?

c) pour le kiéme fils , étant donné qu'il a donné déjà k-1 chameaux au k-1 fils précédents Il en reste donc np-(k-1)p à savoir (n-k+1)p ...

il a donc [(n-k+1)p/p] choix possibles OK ?

l'avant dernier aura [2p/p] choix et le dernier ...[p/p]=1 normal non ?

d) donc le nombre de répartition totale est le produit de ces n combinaisons precedemment établies ce qui correspond au premier membre de l'égalité à établir dans la question finale


2c) doit te faire apparaitre le second membre de cette égalité ...

Tu vois comment ?

[crassus]

2 a) creer un alignement de np chameaux revient à determiner une permutation de np éléments distincts il y'a donc (np)! (factorielle np) alignements de np chameaux
2b) la question délicate

raisonnons d'abord pour le fils qui prend les p premiers chameaux de l'alignement il ya p! façons d'aligner ces p premiers chameaux sans que celà ne change quelque chose pour ce fils ... pareil pour le second les p chameaux suivants peuvent etre alignés de p! façons distinctes sans que celà change quoique ce soit pour le second fils ...pour les deux premiers fils il y a donc
(p!)² alignements distincts des 2p premiers chameaux sans que celà ne change quoi que ce soit pour ces deux fils ...et ainsi de suite il y'a (p!)^k alignements distincts des kp premiers chameaux sans que celà ne change quoi que ce soit pour les k premiers fils

enfin il y'a (p!)^n alignements distincts des np chameaux correspondants à une meme repartition des np chameaux pour les n fils

en effets les permutations changent l'alignement mais pas les séries de p chameaux ...donc pas les p chameaux choisis par les fils


exemple 6chameaux et 2 fils abcdef ou bcadfe amène toutes les deux le fait que le premier fils prend a b et c et que le second prend d e et f

pour 2 c) utilise 2a) et 2 b) comme (p!)^n alignement amène une même répartition pour les n frères , comme il y'a en tout (np!) alignements

il y'a donc (p!)^n fois moins de répartitions que d'alignements

et donc le nombre total de répartitons des np chameaux pour les n frères est

(np)!/(p!)^n

3) ... 1) et 2) t'ont fait calculer de deux façons différentes le même nombre

LE NOMBRE DE REPARTITIONS TOTALE DES np CHAMEAUX pour les n FRERES .... il ne reste plus qu'à écrire l'égalité ...

[crassus]

APPLICATION : 6 chameaux a b c d e f pour 2 freres X et Y

par la premiere methode :i l y'a [6/3]=(6X5X4)/3X2X1 =20 choix pour X

suivi de [3/3] =1 choix seulement pour Y ce qui donne 20X1=20 répartitions possibles


par la seconde méthode : il y'a 6! alignements possibles distincts pour a b c d e f ... 6! = 6X5X4X3X2X1 = 720 ... je ne vais pas tous les écrire ...acdfeb ; dfecba ...

il y'a (3!)² = 6² = 36 alignements correspondant à une meme repartitions

voici ceux correspondants à X qui obtient a , b et c et Y qui obtient d , e et f

abcdef ; acbdef ; bacdef ; bcadef ; cabdef ; cbadef ; abcdfe ; acbdfe ; bacdfe ; bcadfe ; cabdfe ; cbadfe ; abcedf ; acbedf ; bacedf ; bcaedf ; cabedf ; cbaedf ; abcefd ; acbefd ; bacefd ; bcaefd ; cabefd ; cbaefd ; abcfed ; acbfed ; bacfed ; bcafed ; cabfed ; cbafed ; abcfde ; acbfde ; bacfde ; bcafde ; cabfde ; cbafde .

il y'a donc 36 fois moins de répartitions que d'alignement . ce qui donne 720/36 =20 répartitions

meme resultat que par la premiere methode

[6/3]x[3/3] = (3X2)!/ (3!) ² = 20 !

[Ivanovich]

wah merci beaucoup, je le lis a tete reposé et je te dis ce que je ne comprends pas merci encore ^^