Équations différentielles

[Ivan]

Bonjour!
Je ne sais pas comment résoudre ces problèmes sur les équations différentielles, pourriez-vous m'aider?
Merci

c)
Une substance chimique A est transformée par un procédé chimique en une substance B à un rythme qui est proportionnel au carré de la quantité A présente. Si au départ il y avait 50 g de la substance A et qu’après 2 heures il n’en reste que 10 g, combien en restera-t-il après 4heures ?

d)
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux de variation de la température T d’un objet est proportionnel à la différence entre T et la température ambiante A. L’équation différentielle est

i) Résoudre l'équation différentielle

ii)
Un contenant de lait à 4 degrés Celsius est sorti du réfrigérateur et a atteint une température de 6 degrés Celsius au bout de 15 minutes. Déterminer la température T en fonction du temps si la température ambiante est de 24 degrés Celsius.

iii) Un café sort de l’infuseur à une température de 85 degrés Celsius et atteint une température de 63 degrés Celsius au bout de 15 minutes. Déterminer la température> T en fonction du temps si la température ambiante est de 22 degrés Celsius.

iv) Quelles sont les limites lorsque t tend vers l'infini des fonctions trouvées en ii) et iii)? Qu'est-ce que cela signifie?

[Lostounet]

Bonjour,

Qu'as-tu trouvé pour la première ?
Si on note y(t) la quantité présente de la substance à l'instant t, et que y'(t) désigne sa variation. On peut écrire quoi entre y et y'?

[Ivan]

y(t)=ky'(t)???

[Lostounet]

"un rythme qui est proportionnel au carré de la quantité A présente"

[Ivan]

mais par rythme devrais-je mettre le k^2 ou (y'(t))^2?

[Lostounet]

Pour moi, "rythme" c'est comme "variation", et donc j'aurais plutôt tendance à écrire:
y'(t) = k*(y(t))^2
De toute manière on peut écrire ce qu'on veut pour k/k^2 car c'est une constante qu'on essaye de déterminer par la suite.


Sais-tu résoudre cette équation différentielle? Par séparation des variables par exemple.

[Ivan]

Dit moi si c'est correct:
dy/dt = k*(y)^2
∫1/y^2 *dy = ∫kdt
-1/y = kt + c
y = -(kt + c)
??

[Lostounet]

Euh... tu inverses 1/y sans inverser kt + c

?

[Ivan]

oh ok t'as raison,
alors y = -(1/kt + c)?
peut on enlever le c vu que c'est une constante? et laisser y = -(1/kt)?

[Lostounet]

-1/y = kt + c

équivaut à y = -1/(kt + c)
et non pas 1/kt + c... il faut *tout* inverser. Non, on ne peut pas supprimer une constante (on ne sais pas si elle est nulle ou pas).

Pour trouver ces constantes, on sait que y(0) = 50
et y(2) = 10

Cela donne deux équations sur k et c non?

[Ivan]

est-ce que -1/(k*0 +c)= 50, alors c= -1/50?

[Lostounet]

Je trouve aussi c = -1/50
Et pour k alors?

[Ivan]

k= -1/25???

[Ivan]

il resterait 0,14 gr après 4 heures?