Résoudre équation avec puissances

[ricco]

Bonjour,

Tout d'abord je ne suis pas sûr que la catégorie supérieur soit la bonne, peut être que lycée suffit. Bref.

Voici l'équation :

Mon objectif est de déterminer k, et je ne vois pas comment faire, à moins qu'une propriété concernant les puissances m'ai échappé. Quelqu'un peut-il m'aider ? Merci d'avance

[zygomatique]

salut

tu as un polynome de degré n + 1 en l'inconnue k ...

sauf k particulier il est impossible de résoudre exactement cette équation ....

que sait-on de r ?


évidemment avec une calculatrice on obtient une très bonne valeur approchée ....

[ricco]

Merci Zygo de m'aider !

r>1
k>0
n>=0

Et sinon pour la valeur approchée sur la calcu, comment on fait ça ?

[zygomatique]

tu entres dans ta calculatrice (pour des valeurs de r et n données)

et tu cherches la fonction solveur ...

tu peux aussi chercher les racines de f (pour certaines calculatrices) ou les abscisses des points d'intersection de la courbe de f et de la courbe de la fonction g(x) = 0

...

[ricco]

Merci !

[aymanemaysae]

Comme , et L'étude de la fonction obtenue par M. Zygomatique et qui est : , donne :

Pour :

On a et .

On a aussi , donc pour on a , donc f est strictement croissante pour , et comme elle est continue sur donc c'est une bijection de sur , et donc elle s'annule pour une unique valeur de k.

On a une racine évidente de qui est k = 1 et qui est la seule racine de l'équation donnée.

Pour n = 0 , on a (1 - r) k + r - 1 = 0 ce qui donne .

Pour n = 1 , on a , équation qui a pour discriminant
et qui donne k = 1.

Donc on a pour l'équation donnée une unique racine qui est k = 1 , ceci sous toutes les réserves logiques et mathématiques.

[Ben314]

, donne :
<- Surement pas

donc pour on a <- tout aussi faux

[aymanemaysae]

Vous avez raison.

Je vais refaire les calculs.

[aymanemaysae]

Comme donc et par suite ,

et s'annule pour , pour elle est strictement positive et pour elle est strictement négative, par suite ma théorie d'unicité de la racine de l'équation donnée plus haut s'écroule : comme 1 est racine évidente de l'équation, donc le nombre de racines est soit 1 soit 2.

Comme est un maximum global , et comme (1 racine évidente) on a , donc si c-à-d on a une seule racine qui est 1, et si c-à-d on aura deux solutions dont l'une est égale à 1 .