Matrice I: Propriété

[biss]

Bonjour, n'ayant pas trop de notion sur les matrices alors je vous demande si vous pouvez me corrigé sur cet exercice
On nous donne une matrice A
1)calculé j'ai trouvé 0
2) montrer que A est inversible et en déduire A^{-1}.
Donc on a




Donc A est inversible et son inverse est .

[aymanemaysae]

Pour moi c'est juste.

[Carpate]

Pour moi c'est juste.

Mais ça pourrait être plus direct

[cauchy-schwartz]

Slt,

Je crois qu'il est important de démontrer que A est inversible <=> det A<>0 ou autre propriété avant d'entamer le calcul. Si l'inverse n'existe pas, on ne peut pas l'utiliser.

CS

[Robot]

Bien sûr que non, CS.
La démarche est complète, on montre que A est inversible en exhibant explicitement (en fonction de A) un inverse.
Question de goût, j'ai horreur du 0.5 pour écrire 1/2, parce qu'il laisse penser qu'on travaille en flottants.
Le ne me plait pas du tout non plus. On n'écrit jamais de matrice au dénominateur !

[biss]

Je vois.
Merci j'ai compris.

[cauchy-schwartz]

Pour biss, ça va; c'est pour Carpate qui utilise l'inverse. Avant de l'utiliser, il me semblait qu'il fallait le prouver.

CS

[Carpate]

Pour biss, ça va; c'est pour Carpate qui utilise l'inverse. Avant de l'utiliser, il me semblait qu'il fallait le prouver.
CS

En l'absence de l'Arlésienne : la matrice que biss a choisi de nous cacher, il était difficile de montrer directement qu'elle est inversible.
Tout ce qu'on peut déduire c'est qu'elle est diagonalisable car de valeurs propres distinctes : -1 et 2 ...

[alm]

A vrai dire, un élément d'un anneau est inversible s'il existe tel que .
Si c'est cette définition qui est adoptée dans ton cours il ne faut pas négliger de signaler que où .
Si cependant le cours donne la proposition: une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à droite ou à gauche, auquel cas les trois inverses sont égaux alors ce qui est écrit au premier topic suffit comme preuve.
Pour profiter de cela on peut justement faire l'exo:
Soit deux matrices carrées (réelles) de taille tel que , démontrer que .

[aymanemaysae]

On a et

A et B sont inversibles.

On a et .

[Carpate]

On peut considérer le polynôme minimal de l'endomorphisme que représente A dans la base canonique de :
dont les racines -1 et 2 sont différentes de 0 ce qui est une condition nécessaire et suffisante d'inversibilité de A

[biss]

On a et

A et B sont inversibles.

On a et .

Je prend note. Merci

[biss]

On peut considérer le polynôme minimal de l'endomorphisme que représente A dans la base canonique de :
dont les racines -1 et 2 sont différentes de 0 ce qui est une condition nécessaire et suffisante d'inversibilité de A

Peut être me manque encore certains notion pour comprendre le différent de 0 alors c'est inversible.

[biss]

A vrai dire, un élément d'un anneau est inversible s'il existe tel que .
Si c'est cette définition qui est adoptée dans ton cours il ne faut pas négliger de signaler que où .
Si cependant le cours donne la proposition: une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à droite ou à gauche, auquel cas les trois inverses sont égaux alors ce qui est écrit au premier topic suffit comme preuve.
Pour profiter de cela on peut justement faire l'exo:
Soit deux matrices carrées (réelles) de taille tel que , démontrer que .

Je prend note pour mes futures exercices.

[Carpate]

Biss
Pourrais-tu nous donner les 9 coefficients de cette matrice ?
Merci

[Robot]

A quoi cela servirait-il ?

[Carpate]

Je voulais calculer les valeurs propres

[Robot]

Bah, on sait qu'elles sont parmi les racines de . A quoi ça nous avancerait de plus pour le problème de l'inversibilité de ?

[Carpate]

A avoir la 3ème VP
Simple curiosité ...

[Robot]

Il n'y a pas de 3e valeur propre (distincte). Il n'y a même peut-être qu'une seule valeur propre, mais ça ne change rien pour l'inversibilité, ni rien sur l'expression de l'inverse comme polynôme en A.