Matrice I: Propriété

[aymanemaysae]

Si ça peut servir à quelques choses, je crois que .

[Robot]

Mais non, voyons, c'est . A moins que ce ne soit . Ou alors . Ou alors ...

Edit : erreurs de signe corrigées grâce à la vigilance de aymane... (je n'arrive jamais à me souvenir du pseudo si je ne l'ai pas sous les yeux).

[aymanemaysae]

Je n'aime pas contredire un Professeur, mais d'après mes calculs qui peuvent être sujets à l'erreur, j'ai trouvé:

Pour ,

Pour ,

Alors que pour ,

J'ai fait ces calculs tout en espérant avoir tort, pour apprendre quelque chose de nouveau ou corriger les erreurs de mon raisonnement.

[aymanemaysae]

Si

Je m'excuse de ne pas avoir pu écrire les (e) avec leur accent aigu.

[Robot]

Si

Maintenant, c'est une drôle d'idée d'écrire autant de texte à l'intérieur d'une formule !

[Carpate]

Oui, c'est ça. Merci à aymanemaysae
Le polynôme caractéristique est et on vérifie bien que le minimal : le divise bien :

C'est ce que je voulais vérifier ...

[Robot]

On a juste l'information que (et pas , il n'y a pas que moi qui fait des erreurs de signe) est un polynôme annulateur de . Pas que c'est le polynôme minimal de A.
Aymanemaysae a exhibé une jolie matrice (parmi une infinité d'autres possibles) qui admet ce polynôme comme polynôme annulateur.

[Carpate]

C((est pour cela que je demandais à biss quelle était la matrice de l'énoncé.

Aymanemaysae a exhibé une jolie matrice (parmi une infinité d'autres possibles) qui admet ce polynôme comme polynôme annulateur

C'est pour ça que j'avais demandé à biss la matrice de l'énoncé.
Si l'on s'en tient à la matrice donnée par aymanemaysae, de valeurs propres -1 (de mutiplicité 2) et 2 je ne vois pas pourquoi qui est unitaire, ne serait pas le polynôme minimal.
X-2 et X+1 n'annulent pas A ...
Me trompe-je ?

[Robot]

Ai-je dit le contraire ? Le polynôme minimal est bien un polynôme annulateur.
Je fais simplement remarquer que la seule information délivrée par biss est que la matrice est carrée de taille 3 et admet comme polynôme annulateur.
Ca suffit (et c'est même de trop, on n'a pas besoin de connaître la taille de ) pour en déduire que est inversible et calculer l'inverse de comme polynôme du second degré en .

[alm]

Biss
Pourrais-tu nous donner les 9 coefficients de cette matrice ?
Merci

C'est une question qui peut faire sujet d'un exercice, à savoir:
Trouver toutes les matrices carrées réelles vérifiant la relation .
Autrement dit: résoudre dans l'équation:
Pour commencer, remarquons que si est une solution du problème alors est un polynôme annulateur. Comme , le polynôme minimal de , vérifie .
Si , alors
Si , alors
Si alors le spectre de est , et comme est scindé à racines simples, forcément la matrice est diagonalisable. Il en découle que est semblable à l'une des matrices diagonales suivantes:
Notons que les matrices et ne sont pas semblables puisqu'elles n'ont pas même determinant , donc elles représentent deux classes dijointes du problème posé. Notons aussi que dans le présent cas (celui où , il n'y a que les classes représentées par et , car les autres matrices diagonales solution de ce problème s'obtiennet par permutation des colonnes de ou et de telles permutations ne changent pas de classe de similitude pour une matrice diagonale.
En faisant une synthèse, l'ensemble des matrices recherché est: , ici, désigne le groupe des matrices inversibles réelles de taille .
Autrement dit, si on veut construire des exemples, il suffit de prendre n'importe quelle matrice réelle de taille inversible et calculer

[biss]

Si vous etes ineterressé .

[alm]

Les matrices données avec des zéros sur la diagonale sont manifestement semblables à la matrice qui, parmi les solutions générales du problème est la seule matrice diagonale à une permutation près des colonnes, qui représente celles de trace nulle.
Justement, un bon exercice (classique) est de démontrer que si une matrice carrée réelle est de trace nulle alors elle est semblable à une matrice n'ayant que des zéros sur la diagonale principale.