Congruence

[Subsib]

Bonjour,

J'ai une série de problèmes à résoudre dont je ne suis pas sûre de saisir ni l'énoncé, ni les tenants et aboutissants :

Trouver toutes les solutions aux congruences suivantes :
2x ≡ 3 (mod 4) avec x ∈ Z/4Z
2x ≡ 2 (mod 4) avec x ∈ Z/4Z
2x ≡ 3 (mod 5) avec x ∈ Z/5Z

2x ≡ 3 (mod 4) avec x ∈ Z/4Z

Je pose que si 2x ≡ 3 (mod 4),
a ≡ b (mod n) alors a - b = s.n

alors il existe s dans N
tq 2x - 3 = 4.n
Mais je n'ai pas de solution de cette équation dans Z/4Z, donc il n'y a pas de solution ?

2x ≡ 2 (mod 4) avec x ∈ Z/4Z
Même idée,
2x - 2 = 4.n est vrai pour x = 1 et x = 3 dans Z/4Z

2x ≡ 3 (mod 5) avec x ∈ Z/5Z
2x - 3 = 5.n
est vrai pour x = 4 dans Z/5Z

Mais je ne suis pas sûre d'avoir bien compris la question en fait.
Ensuite

"que pouvez-vous en déduire ?"

heu... là, je n'ai aucune idée.

Si quelqu'un pouvait m'aiguiller, ce serait vraiment super chouette
Merci.

[Robot]

Tu as fait pas mal de coquilles dans ton message. Difficile de savoir ce qui est juste une coquille, ou vraiment une erreur.
Relis toi avant de poster !
Il semble que tu aies les bonnes réponses, modulo ce que j'ai écrit ci-dessus.

Pour "ce qu'on peut en déduire" : il n'est pas toujours commode de savoir ce que la personne qui pose cette question a en tête. Ici, je soupçonne qu'il ou elle voudrait que tu commentes sur le nombre de solutions d'une équation dans .

[Subsib]

Oui, pardon, j'ai édité... J'ai vraiment plus les yeux en face des trous.

Et à partir de là, y a-t-il une conclusion qu'on puisse tirer de ça ?

[Robot]

"alors il existe s dans N
tq 2x - 3.n = 4"

????

[Subsib]

Je jure que je fais des efforts.

alors on cherche x dans Z/4Z tel que
2x - 3 = 4n, n dans N ?

Je me demande s'il y a une façon plus générale de voir s'il existe une solution que de tester tous les éléments de Z/nZ pour une question de ce genre ?

[Robot]

"alors on cherche x dans Z/4Z tel que
2x - 3 = 4n, n dans N ?"
La on ne sait plus trop si on est dans Z/4Z, dans N ou dans Z (mais l'énoncé n'est pas non plus exempt de défaut de ce côté là).

En tout cas : veut dire qu'il existe dans (et pas dans !) tel que .

Pour traiter l'équation : si est premier avec , il est inversible modulo et on a alors une solution unique modulo (le troisième cas de ton exercice). Si n'est pas premier avec : soit le pgcd de et ; si ne divise pas , aucune solution (le premier cas de ton exercice); si divise , alors a une solution unique modulo et donc l'équation de départ à solutions modulo .

[Subsib]

Ok, merci beaucoup beaucoup.
Je me fais une petite fiche ^^