Proba TS

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devoir13
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proba TS

par devoir13 » 09 Jan 2016, 17:32

Bonsoir, voici l'exercice :

Il manque à Marcelle, qui collectionne les euros, la pièce d'un euro frappée à l'effigie du Prince Rainier de Monaco. Son fils Albert, lui ayant succédé, la pièce qu'elle recherche n'est plus frappée. Elle s'inscrit donc sur un site internet de vente en ligne et met en place une alerte par courrier électronique de façon à recevoir un message lorsqu'une pièce qu'elle recherche est disponible.
Cette pièce étant devenue très rare, la probabilité qu'elle reçoive ce message très attendu est 0.05 par jour. On suppose qu'elle ne peut pas recevoir deux propositions par jour et que le fait qu'elle reçoive un message un jour donné n'a aucune influence sur le fait qu'elle en reçoive un autre jour.
Soit X le nombre de messages reçus par Marcelle pendant n jours.
1. Déterminer P(X=0) en fonction de n
2. Déterminer en fonction de n, la probabilité que MArcelle reçoive au moins un message l'informant qu'il y a une pièce disponible.

Au bout de combien de jours a-t-elle 98% de chances d'avoir reçu au moins un message l'informant qu'elle peut compléter sa collection ?

Tout d'abord je bloque sur la question 1 puisqu'il faut déterminer la probabilité qu'elle n'a pas reçu de message en n jours, je n'arrive pas à comprendre :? :?

Merci de votre aide!



nodgim
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Re: proba TS

par nodgim » 09 Jan 2016, 17:40

P(recevoir un message)=0,05
P(ne pas recevoir un message) = ?

titine
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Re: proba TS

par titine » 09 Jan 2016, 17:43

X suit une loi binomiale de paramètres n et p=0,05.
P(X=0) = (1-0,05)^n = 0,95^n
Car si tu appelles A "elle a reçu une alerte" et A(barre) "elle n'a pas reçu d'alerte.
Si X=0 ça signifie qu'on a A(barre) et A(barre) et A(barre) ... n fois
Or P(A(barre)) = 0,95
Donc P(X=0) q= 0,95*0,95*0,95... = 0,95^n

devoir13
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Re: proba TS

par devoir13 » 09 Jan 2016, 17:58

Ah oui c'était tout simple en fait! :oops:
Pour la question 2, je sais que "au moins un" c'est le contraire de aucun, donc on fait la proba qu'elle a aucun message qui est 0.95^n et le contraire c'est donc 0.05^n ? c'est la réponse à la question 2 ?

titine
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Re: proba TS

par titine » 09 Jan 2016, 19:12

Non la probabilité de l'évènement contraire de "elle a reçu 0 alerte" est 1 - 0,95^n

devoir13
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Re: proba TS

par devoir13 » 10 Jan 2016, 10:32

ce n'est pas 0.95^n ?

devoir13
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Re: proba TS

par devoir13 » 10 Jan 2016, 11:33

Ah je retire ce que j'ai dis! Du coup la proba qu'elle reçoive au moins un message c'est 1-0.95^n ?

titine
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Re: proba TS

par titine » 10 Jan 2016, 11:35

On a dit que :
P(X=0) = 0,95^n
Donc P("elle a reçu 0 alerte" ) = 0,95^n
Donc la probabilité de l'évènement contraire est : 1 - 0,95^n
Conclusion : P(elle a reçu au moins une alerte) = 1 - 0,95^n
Et pas 0,05^n comme tu l'as dit.

devoir13
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Re: proba TS

par devoir13 » 10 Jan 2016, 12:12

Oui j'avais inversé les deux :oops:
Pour la dernière question, il faut que je remplace les 98% dans la formule ?

titine
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Re: proba TS

par titine » 10 Jan 2016, 12:35

Il faut trouver à partir de quelle valeur de n on a 1 - 0,95^n ≥ 0,98

devoir13
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Re: proba TS

par devoir13 » 10 Jan 2016, 13:02

Alors on fait P(X>=0.98) ?

titine
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Re: proba TS

par titine » 10 Jan 2016, 13:26

Non.
On cherche n tel que P(x≥1) ≥ 0,98
C'est à dire tel que : 1 - 0,95^n ≥ 0,98

devoir13
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Re: proba TS

par devoir13 » 10 Jan 2016, 13:39

du coup je résout l'inéquation ?

titine
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Re: proba TS

par titine » 10 Jan 2016, 13:47

Oui c'est ça

devoir13
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Re: proba TS

par devoir13 » 10 Jan 2016, 13:54

comment passe-t-on la puissance de l'autre côté ?

devoir13
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Re: proba TS

par devoir13 » 10 Jan 2016, 14:18

Je sais! on utilise a la fin le logarithme népérien, ce qui fait n environ égal a 76 ! je pense en tout cas ^^

titine
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Re: proba TS

par titine » 10 Jan 2016, 15:11

1 - 0,95^n ≥ 0,98
-0,95^n ≥ -0,02
0,95^n ≤ 0,02
n * ln(0,95) ≤ ln(0,02)
n ≥ ln(0,95)/ln(0,02) car ln(0,95) est négatif
Il faut donc que n soit au moins égal à 77

 

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