Proba

[nounours94170]

Bonjour à tous,

J'ai un problème je ne sais pas comment répondre au première question de l'énoncé car je n'ai pas encore vu le fait que les six faces ne sont pas équiprobables..Voici l'énoncé:

On dispose d'un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par Pk la probabilité d'obtenir, lors d'un lancer, la face numérotées k (k est un entier naturel et 1<=k<=6)
ce dé a été pipé de telle sorte que :
-les 6 faces ne sont pas équiprobables,
-les nombres P1,P2,P3,P4,P5 et P6, ds cet ordre, sont 6 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison r,
-les nombres P1,P2 et P4, dans cet ordre, sont 3 termes consécutifs d'une suite arithmétique.

1) Démontrer que Pk=k/21 pour tt entier k tel que 1<=k<=6.
Pour cette question je vois pas trop comment faire mais j'imagine qu'il faudrait utiliser le fait qu'on ait des suites.

2)On lance ce dé une fois et on considère les événements suivants :
A:"le nombre obtenu est pair"
B:"Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3"
C:"Le nombre obtenu est 3 ou 4"

a) Calculer la proba de chacun de ces événements.
b) Calculer la proba que le nombre abtenu soit supérieur ou égal à 3, sachant qu'il est pair.
c) Les événements A et B sont-ils indépendants ? De même pour A et C.

3)On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :
-d'une urne U1 contenant une boule blanche et trois boules noires,
-d'une urne U2 contenant deux boules blanches et une boule noire.
Le joueur lance le dé :
-s'il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l'urne U1,
-s'il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l'urneU2.

On suppose que les tirages sont équiprobables et le joueur est declaré gagnant lorsqu'il tire une boule blanche, on note G cet evenement.
a) Determiner la probabilite de l'événement GinterA, puis la probabilité de l'événement G.
b) Le joueur est gagnant. Determiner la probabilite qu'il ait obtenu un nombre pair lors du lancer du dé.

1)J'ai pensé à répondre à la première question par p(k)=k/21 car omega vaut 1+2+3+4+5+6=21.
2) P(A)=3/6 P(B)=4/6 et p(C)=2/6 mais ne faut -il pas mettre P(A)=3/21 ?

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait.
Merci d'avance.
Cordialement

[armor92]

Bonjour nounours,

1) Les nombres Pk sont les termes consécutifs d'une suite géométrique de raison r.
On a donc : Pk = P1 + (k-1) * r (1)

Les nombres P1, P2 et P4 sont 3 termes conscutifs d'une suite géométrique.
On a donc : P4/P2 = P2/P1 (2)

D'autre part on sait que la somme des probabilités vaut 1.
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1 (3)

De (1) et (3), on déduit : 6P1 + 15r = 1. (4)
De (2) et (1), on déduit : (P1+3r)/(P1+r)=(P1+r)/P1
(P1+3r)*P1 = (P1+r)²
P1²+3rP1 = P1² +2rP1 + r²
rP1 = r²,
d'ou r=P1

En remplacant r par P1 dans la relation (4), on déduit :
P1=1/21

D'ou finalement : Pk = kP1 = k/21

[armor92]

2) a)
P(A) = P2 + P4 + P6 = 2/21 + 4/21 + 6/21 = 12/21 = 4/7
P(B) = P3 + P4 + P5 + P6 = 3/21 + 4/21 + 5/21 + 6/21 = 18/21 = 6/7
P(C) = P3 + P4 = 7/21 = 1/3

b)
PA(B) = P(A inter B) / P(A)
P(A inter B) = P4 + P6 = 10/21
PA(B) = 10/12 = 5/6

c)
Les évenements A et B sont indépendants signifie :
P(A inter B) = P(A) * P(B)
Ce n'est pas le cas ici puisque P(A inter B) = 10/21 et P(A) * P(B) = 24/49

De même P(A inter C) = P4 = 4/21
P(A) * P(C) = 4/21
Les évenements A et C sont indépendants.

[armor92]

3°) a)
P(G inter A) = P(A) * PA(G)
PA(G) = Probabilité de G sachant A = Probabilité qu'il tire une boule balnche de U1 = 1/4

P(A inter G) = 4/7 * 1/4 = 1/7

P(G) = P(G inter A) + P(G inter Abarre)
où Abarre désigne l'évenement contraire de A

P(G inter Abarre) = P(Abarre) * PAbarre(G)
PAbarre(G) = Probabilité de G sachant Abarre = Probabilté qu'il tire une boule blanche de l'urne U2 = 2/3

P(Abarre) = 1 - P(A) = 3/7

P(G inter Abarre) = 3/7 * 2/3 = 2/7

D'où finalement : P(G) = 1/7 + 2/7 = 3/7

[armor92]

3°) b)
On cherche la probabilité qu'il aie obtenu un nombre pair au lancé de dé sachant qu'il est gagnant au final, c'est à dire PG(A)

PG(A) = P(A inter G) / P(G) = (1/7) / (3/7) = 1/3

[nounours94170]

je vous remercie pour votre aide, elle m'est très utile :) a bientot
cordialement