équation fonctionnelle

[bolog]

Bonjour,

J'ai une équation fonctionnelle à résoudre pour demain. La voilà:

Pouvez-vous m'aider à la résoudre? Merci d'avance.

[bolog]

Je suis juste arrivé à faire quelques substitutions qui donnaient:

Rien de très intéressant!

[zygomatique]

salut

si y = 1 alors f(x + 1) + f(x - 1) = f o f(1 - x)

puis en remplaçant x par -x alors f(-x + 1) + f(-x - 1) = f o f(1 + x)

or f(x) = f(-x) donc f(x + 1) + f(x - 1) = f o f(1 + x)

donc f o f(1 - x) = f o f(1 + x)

....

[bolog]

donc, , mais qu'est-ce que cela implique?

[bolog]

Et c'est une fonction R->R, j'ai oublié de le préciser.

[chan79]

salut

si y = 1 alors f(x + 1) + f(x - 1) = f o f(1 - x)



....

salut
petite erreur ici, je pense

[Pseuda]

f(-y)=f(y) => fonction paire.

Remplace y par 1/x dans l'équation fonctionnelle. Puis prends quelques valeurs de x. Tu dois aboutir à f(f(0)=0 et à f(x+1/x)=f(x-1/x) pour tout x.
En remplaçant y par -1/x dans l'équation fonctionnelle, tu dois aboutir à f(f(2))=0.

Dans les hypothèses, cette fonction est-elle continue, dérivable ?

[Pseuda]

donc, , mais qu'est-ce que cela implique?

Non, f o f(1 - x) = f o f(1 + x) n'implique pas : f(1-x)=f(1+x). On ne sait pas si la fonction est injective.

[zygomatique]

salut

si y = 1 alors f(x + 1) + f(x - 1) = f o f(1 - x)
....

salut
petite erreur ici, je pense

je ne comprends pas ::

f(x + y) + f(x - y) = f o f(1 - xy)

y = 1 => f(x + 1) + f(x - 1) = f o f(1 - x)

y = -1 => f(x - 1) + f(x + 1) = f o f(1 + x)

si a = b et a = c alors b = c

donc f o f(1 - x) = f o f(1 + x)

d'ailleurs on peut généraliser

f(x + y) + f(x - y) = f o f(1 - xy)

en remplaçant y par -y :: f(x - y) + f(x + y) = f o f (1 + xy)

donc f o f(1 - xy) = f o f(1 + xy)

ce me semble-t-il ....

[bolog]

Qu'est-ce qu'un fonction dérivable? Et je ne vois pas comment arriver à f(f(0))=0... pour avoir ça, il faudrait que x=-x, non? donc que x=0, mais on ne peut pas le faire car il y a des x au dénominateur.

On ne peut pas diviser les deux côtés par f(O)?

[Ben314]

Salut,
En supposant f dérivable, sauf erreur, l'unique solution est la fonction identiquement nulle.

EDIT : sauf erreur, en la supposant dérivable en UN point a>0, ça suffit à conclure.

[chan79]

je ne comprends pas ::

f(x + y) + f(x - y) = f o f(1 - xy)

le texte dit: f(x+y)=f(x-y)+fof(1-xy)

[Pseuda]

Sauf erreur, on aboutit de toute façon à f=0 :

On a pour tout xZ, f(x+2)=f(x) et f(f(x)=0 (par récurrence sur f(x+2)=f(x)+f(f(x)).

On à la fois :
pour tout yZ, et x0, f(x+y/x)=f(x-y/x) (remplacer y par y/x dans l'équation fonctionnelle), soit en particulier avec x=1, f(1+y)=f(1-y) pour tout y,
et pour tout x, f(f(1+x))= - f(f(1-x).

En conjuguant les deux : f(f(1+x)=-f(f(1+x) pour tout x, donc fof=0,
puis f(x+y)=f(x-y) pour tous x et y, soit f(x)=0 pour tout x.

[Pseuda]

Sauf erreur, on aboutit de toute façon à f=0 :

On a pour tout xZ, f(x+2)=f(x) et f(f(x)=0 (par récurrence sur f(x+2)=f(x)+f(f(x)).

On à la fois :
pour tout yZ, et x0, f(x+y/x)=f(x-y/x) (remplacer y par y/x dans l'équation fonctionnelle), soit en particulier avec x=1, f(1+y)=f(1-y) pour tout y,
et pour tout x, f(f(1+x))= - f(f(1-x).

En conjuguant les deux : f(f(1+x)=-f(f(1+x) pour tout x, donc fof=0,
puis f(x+y)=f(x-y) pour tous x et y, soit f(x)=0 pour tout x.

Hum, j'ai fait une erreur : on a f(1+y)=f(1-y) pour tout yZ. Le reste n'est plus valable (sauf sur Z : f(x)=0 pour tout xZ).

Plus précisément sur mon message précédent : f(x+y)=f(x-y) pour x et y Z=> f(u)=f(v) pour tous u et v, soit la fonction est constante : f(x)=c pour tout x, et f(f(x))=0=f(c), donc f(x)=0 pour tout xZ.

[Pseuda]

Quelqu'un ?

[Ben314]

Heuuu...
Quelqu'un pour quoi ?

[Pseuda]

Heuuu...
Quelqu'un pour quoi ?

Quelqu'un pour résoudre ce problème. Il me turlupine...et je ne vois pas. J'ai l'impression qu'on doit aboutir à f=0 sur R, ou bien que f est une fonction qui s'écrit avec la partie entière E(x).

[Ben314]

S'il y a des solutions autres que la fonction nulle, alors elle ne sont dérivable nulle part (sauf éventuellement en 0).
Et je ne pense pas que tu arrive à "fabriquer" une fonction nulle part dérivable en partant simplement de la fonction "partie entière".

[chan79]

en posant g(x)=f(f(x)
en remplaçant y par 0 dans l'équation donnée, on arrive à g(1)=0
en remplaçant x par 0:
f(y)=f(-y)+g(1)
f(y)=f(-y)
f est paire
g est paire aussi

avec y =1 dans l'équation de départ
f(x+1)=f(x-1)+g(1-x)
en remplaçant x par x+1 dans l'égalité précédente:
f(x+2)=f(x)+g(x)
en remplaçant x par -x dans l'égalité précédente et avec les parités de f et g
f(x-2)=f(x)+g(x)
donc f(x+2)=f(x-2)
or f(x+2)=f(x-2)+g(1-2x)
donc g(1-2x)=0
donc g=0
il s'en suit que f(x+y)=f(x-y)
soit deux nombres a et b
si on pose x=(a+b)/2 et y=(a-b)/2
f(x+y)=f(x-y) donne f(a)=f(b)
f est constante
f(f(1))=0 donc f=0

[zygomatique]

je ne comprends pas ::

f(x + y) + f(x - y) = f o f(1 - xy)

le texte dit: f(x+y)=f(x-y)+fof(1-xy)

ha m.... credi ...

et bravo pour ta réponse ...