bonjour
Ref: Olympiades suédoises ; concours 1967
je n'ai pas la solution.
Soit (a_1,a_2,.......),une suite de nombres positifs telle que , pour tout entier n>2, on ait la relation:
(a_n)^2 >= a_(n-1) + a_(n-2) + ........ +a_2 + a_1.
Montrer qu'il existe une constante positive C telle que pour tout entier n on ait:
a_n >= C.n
Exo olympiade suédoise
19 messages
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par oss007 » 21 Sep 2006, 10:00
bonjour,
je ne parviens même pas à initialiser la récurrence,
merci pour ton aide.
je ne parviens même pas à initialiser la récurrence,
merci pour ton aide.
par atito » 21 Sep 2006, 16:56
Voilà comment j'ai procédé:
Tu prends un C qui vérifie cela pour a_1 et a_2, puis tu utilises la récurrence forte pour trouver une condition sur C qui ne dépend pas de n, ( le n se simplifie dans l'inégalité trouvée donc c'est sûr de trouver ce n)
et tu prends C alors qui vérifie les trois conditions.
Dis moi où tu te bloques. Et j'aimerais bien savoir si t'as une idée( même si tu n'y arrives pas ..)
Merci
Tu prends un C qui vérifie cela pour a_1 et a_2, puis tu utilises la récurrence forte pour trouver une condition sur C qui ne dépend pas de n, ( le n se simplifie dans l'inégalité trouvée donc c'est sûr de trouver ce n)
et tu prends C alors qui vérifie les trois conditions.
Dis moi où tu te bloques. Et j'aimerais bien savoir si t'as une idée( même si tu n'y arrives pas ..)
Merci
par oss007 » 22 Sep 2006, 09:16
bonjour
je ne m'étais pas aperçu que tu avais modifié la constante C.
je ne m'étais pas aperçu que tu avais modifié la constante C.
par atito » 22 Sep 2006, 15:56
oss007 a écrit:bonjour
je ne m'étais pas aperçu que tu avais modifié la constante C.
Oui désolé de ne pas le dire parce que j'avais pas remarqué le truc n > 2. Bon j'espère que le résultat est vrai.. sinon tiens moi au courant si ya quelque chose qui va pas...
merci
par atito » 23 Sep 2006, 16:19
atito a écrit:C=min(a_1, a_2 /2, 1/2) , par réccurence.
Merci!
Pour ce C on a : a_1 > C et a_2 > 2C .
par aviateurpilot » 23 Sep 2006, 17:53
on veux montrer que l'ensemble 
admet un plus petit element dans 
par atito » 23 Sep 2006, 18:11
Je vois que je suis pas clair bon je vais tenter:
Prenons C=min(a_1, a_2 /2, 1/4). ( je corrige ce que j'ai écri avant)
On a a_1 > C et a_2 > 2C .
Démontrons pas racurrence forte que a_n >= C.n . pour tout n>0.
Les propriétés P(0) et P(1) étant vérifiées, soit n fixe > 2 tel que pour tout k dans [1,n] a_k>C*k et montrons que c'est vrai pour n+1.
On a : [a_(n+1)]²>= a_(n) + a_(n-1) + ........ +a_2 + a_1.
>=C ( somme(k) from 1 to n)=C*n(n+1)/2= [C*(n+1)]²* n(n+1)/(2*C*(n+1)²)
Donc faut démontrer que n(n+1)/(2*C*(n+1)²) >=1 ce qui est vrai pour C<1/4 par exemple.
CQFD.
Prenons C=min(a_1, a_2 /2, 1/4). ( je corrige ce que j'ai écri avant)
On a a_1 > C et a_2 > 2C .
Démontrons pas racurrence forte que a_n >= C.n . pour tout n>0.
Les propriétés P(0) et P(1) étant vérifiées, soit n fixe > 2 tel que pour tout k dans [1,n] a_k>C*k et montrons que c'est vrai pour n+1.
On a : [a_(n+1)]²>= a_(n) + a_(n-1) + ........ +a_2 + a_1.
>=C ( somme(k) from 1 to n)=C*n(n+1)/2= [C*(n+1)]²* n(n+1)/(2*C*(n+1)²)
Donc faut démontrer que n(n+1)/(2*C*(n+1)²) >=1 ce qui est vrai pour C<1/4 par exemple.
CQFD.
par oss007 » 24 Sep 2006, 10:24
bonjour
je reprends ce que tu as écrit;
alors, hérédité par récurrence forte avec tes hypothèses:
^2>=a_n+.....+a_2+a_1>=Cn+.....C2+c1=Cn(n+1)/2)
on veut :/2>=[C(n+1)]^2)
c'est à dire:
)
pour tout n ,
or<1)
pour tout n
donc C=1/2 ( ou 1/4 par exemple ) convient.
merci de me corriger
je reprends ce que tu as écrit;
alors, hérédité par récurrence forte avec tes hypothèses:
on veut :
c'est à dire:
or
donc C=1/2 ( ou 1/4 par exemple ) convient.
merci de me corriger
par atito » 24 Sep 2006, 10:32
[quote="oss007"]bonjour
orconstante)
et non pas le contraire..
Merci d'avoir pris le temps d'écrire les tags LATEX.
or
Merci d'avoir pris le temps d'écrire les tags LATEX.
par oss007 » 24 Sep 2006, 11:15
bonjour
effectivement ,1/2 ne convient pas
/2,1/4))
merci beaucoup pour cette solution.
effectivement ,1/2 ne convient pas
merci beaucoup pour cette solution.
par oss007 » 24 Sep 2006, 17:14
bonjour atito
en recopiant au propre , me suis aperçu d'une erreur que tu avais décelée; je reprends donc là:
rappel : l'hérédité commence pour n>=3; car la relation:
est vaie pour n>=3.
alors, existe-t'il C tel que ,pour tout n>=3 :C<=n/2(n+1) ?
facile de voir que :C=3/8 convient.
d'où :/2,3/8))
Il me semble que là c'est bon.
Je préfère corriger ici pour que tu puisses suivre les modifications.
merci pour ta relecture.
en recopiant au propre , me suis aperçu d'une erreur que tu avais décelée; je reprends donc là:
rappel : l'hérédité commence pour n>=3; car la relation:
alors, existe-t'il C tel que ,pour tout n>=3 :C<=n/2(n+1) ?
facile de voir que :C=3/8 convient.
d'où :
Il me semble que là c'est bon.
Je préfère corriger ici pour que tu puisses suivre les modifications.
merci pour ta relecture.
par atito » 28 Sep 2006, 17:30
Bon c'est ça. Sauf que C=1/4 marche aussi si je me trompe pas no?
Merci!
Merci!
par oss007 » 29 Sep 2006, 04:58
oui atito, toute constante C inférieure ou égale à 3/8 convient, donc 1/4 aussi.
disons que 3/8 est le max des C qui conviennent.
merci pour ton aide efficace dans la résolution de cet exercice.
bonne journée.
disons que 3/8 est le max des C qui conviennent.
merci pour ton aide efficace dans la résolution de cet exercice.
bonne journée.
par atito » 29 Sep 2006, 13:12
oss007 a écrit:oui atito, toute constante C inférieure ou égale à 3/8 convient, donc 1/4 aussi.
disons que 3/8 est le max des C qui conviennent.
merci pour ton aide efficace dans la résolution de cet exercice.
bonne journée.
Mince! on a donc montré qu'il existe une infinité de C qui vérifie cela!!!
Merci à toi aussi
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