Exercice d'olympiade j'ai une question

[Adelpsg78]

Salut, alors j'ai trouver un exercice d'olympiade voici l'énoncer

On définit pour chaque couple de réels (a;b) la fonction f par :



Deux nombres réels u et v sont dits "échangeables" s'il existe au moins un couple de réels (a;b) tel que la fonction f vérifie à la fois f(u)=v et f(v)=u.
1) Montrez que 2 et 3 sont échangeables
2) Peut-on dire autant de 4 et 7 ?
3) A quelle condition deux entiers u et v sont-ils echangeables ?

Alors moi j'ai pensais à f(x)=a-;)x+;)b donc a+;)b=f(x)+;)x pour a, b et x positif donc :



Et la je coince j'arrive plus à avancer des idées ?

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà, avant d'attaquer des exos d'olympiades, ça serait pas mal de maitriser un minimum le calcul algébrique, et en particulier, de savoir que .

Sinon, pour tout , on a :
et échangeables

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà, avant d'attaquer des exos d'olympiades, ça serait pas mal de maitriser un minimum le calcul algébrique, et en particulier, de savoir que .

Sinon, pour tout , on a :
et échangeables

[Adelpsg78]

Salut,
Bon, déjà, avant d'attaquer des exos d'olympiades, ça serait pas mal de maitriser un minimum le calcul algébrique, et en particulier, de savoir que .

Sinon, pour tout , on a :
et échangeables

D'accord, j'ai rien compris :mur: c'est un exercice que ma prof nous à donner pour les vacances, on a pas encore vue ceci en cours, c'est pour faire fonctionner notre esprit scientifique, donc pourriez vous expliquer plus en détaille ce que vous faite, s'il vous plait, j'ai vraiment l'envie de comprendre :id: .

Merci d'avance.

[capitaine nuggets]

Salut !

Donne-toi deux tels réels et .
Dans ce cas, puisqu'ils sont interchangeable, par définition, il existe deux réels et tels que :

[CENTER][/CENTER]

Or est la fonction définie pour tout réel par donc donne et donne . Les réels et vérifient alors :

[CENTER][/CENTER]

Or pour deux réels et , équivaut à donc les réels et vérifient les deux systèmes :

[CENTER][/CENTER]

Les deux inéquations et nous disent ainsi que est supérieur au deux réels et .

Ainsi, il nous reste deux équations qu'on rassemble pour en faire un système :

[CENTER][/CENTER]

En effectuant, membre à membre, la différence entre les équations et , on a :

[CENTER][/CENTER]

Et là, on reconnais à droite une identité remarquable ! Donc cette équation équivaut à :

[CENTER][/CENTER]

On rassemble tout pour avoir une équation produit nul et on factorise :

[CENTER][/CENTER]

Donc soit soit .

Le premier est facile, passons au second :+++:
équivaut à

Or est supérieur à et donc simultanément, on a :

[CENTER]
[/CENTER]

La première inéquation te donnera et la seconde .
On peut alors conclure, en reliant ces deux inégalité à l'aide d'une valeur absolue, que deux réels et sont interchangeables (uniquement avec la fonction donnée) si et seulement si :+++:

[Adelpsg78]

Salut !

Donne-toi deux tels réels et .
Dans ce cas, puisqu'ils sont interchangeable, par définition, il existe deux réels et tels que :

[CENTER][/CENTER]

Or est la fonction définie pour tout réel par donc donne et donne . Les réels et vérifient alors :

[CENTER][/CENTER]

Or pour deux réels et , équivaut à donc les réels et vérifient les deux systèmes :

[CENTER][/CENTER]

Les deux inéquations et nous disent ainsi que est supérieur au deux réels et .

Ainsi, il nous reste deux équations qu'on rassemble pour en faire un système :

[CENTER][/CENTER]

En effectuant, membre à membre, la différence entre les équations et , on a :

[CENTER][/CENTER]

Et là, on reconnais à droite une identité remarquable ! Donc cette équation équivaut à :

[CENTER][/CENTER]

On rassemble tout pour avoir une équation produit nul et on factorise :

[CENTER][/CENTER]

Donc soit soit .

Le premier est facile, passons au second :+++:
équivaut à

Or est supérieur à et donc simultanément, on a :

[CENTER]
[/CENTER]

La première inéquation te donnera et la seconde .
On peut alors conclure, en reliant ces deux inégalité à l'aide d'une valeur absolue, que deux réels et sont interchangeables (uniquement avec la fonction donnée) si et seulement si :+++:

Je comprend mieux certaine chose, merci, en faite il fallait commencer par la question 3 :lol3: merci à vous encore un fois !

[capitaine nuggets]

Je comprend mieux certaine chose, merci, en faite il fallait commencer par la question 3 :lol3: merci à vous encore un fois !

Nam, les questions 1 et 2 sont des exemples destinés à te donner une intuition sur ce qui pourrait se passer :+++:

Les as-tu faites ?

[Imod]

Bonjour à tous :zen:

Certes il n'y a pas beaucoup d'effort de la part du posteur mais les raisonnement par équivalence sont abandonnés depuis longtemps . Je ne suis même pas sûr qu'on emploie encore et au lycée .

On élimine d'ailleurs tellement de choses que je me demande si on sait où on va :mur:

Imod

[capitaine nuggets]

Bonjour à tous :zen:

Certes il n'y a pas beaucoup d'effort de la part du posteur mais les raisonnement par équivalence sont abandonnés depuis longtemps . Je ne suis même pas sûr qu'on emploie encore et au lycée .

On élimine d'ailleurs tellement de choses que je me demande si on sait où on va :mur:

Imod

Je pense que ça dépend des lycées : j'ai changé de lycée entre temps et je sais que tout comme "", certains profs ont bannis tous ces symbôles parce qu'on est pas prêt, ou on ne sauras pas les utiliser correctement...

[Adelpsg78]

Nam, les questions 1 et 2 sont des exemples destinés à te donner une intuition sur ce qui pourrait se passer :+++:

Les as-tu faites ?

Non je ne les ai pas faite

[beagle]

Je pense que ça dépend des lycées : j'ai changé de lycée entre temps et je sais que tout comme "", certains profs ont bannis tous ces symbôles parce qu'on est pas prêt, ou on ne sauras pas les utiliser correctement...

"Vous n'ètes pas prèts, vous ne saurez pas les utiliser"
pas de il existe, pas de pour tout, pas de implique pas de équivalent,

c'est assez risible,

je pense plutot que vous n'ètes pas près car on vous en éloigne.

Et c'est quand que les profs de français supriment les mots, les tournures de phrases parce que zètes pas prèts?
et en histoire , en géographie on enlève quoi de pas prèt?

Tu sais ce que je dis à ma femme lorsqu'elle n'est pas prète?

[Imod]

"Vous n'ètes pas prèts, vous ne saurez pas les utiliser"
pas de il existe, pas de pour tout, pas de implique pas de équivalent,

c'est assez risible,

je pense plutot que vous n'ètes pas près car on vous en éloigne.

Et c'est quand que les profs de français supriment les mots, les tournures de phrases parce que zètes pas prèts?
et en histoire , en géographie on enlève quoi de pas prèt?

Tu sais ce que je dis à ma femme lorsqu'elle n'est pas prète?

Garder les symboles sans la logique qui va avec n'a pas beaucoup de sens et j'ai toujours trouvé le raisonnement par équivalence trop sophistiqué pour le lycée .

Il y a tellement à dire sur les nouveaux progammes :marteau:

J'espère avoir mal compris le sens de ta dernière phrase :--:

Imod

[capitaine nuggets]

Non je ne les ai pas faite

C'est dommage : ce sont les plus simples... :we:

Il y a tellement à dire sur les nouveaux progammes :marteau:

Yes :mur:

J'espère avoir mal compris le sens de ta dernière phrase :--:

:ptdr: :doh:

[beagle]

Garder les symboles sans la logique qui va avec n'a pas beaucoup de sens et j'ai toujours trouvé le raisonnement par équivalence trop sophistiqué pour le lycée .

Il y a tellement à dire sur les nouveaux progammes :marteau:

J'espère avoir mal compris le sens de ta dernière phrase :--:

Imod

C'est pas l'équivalence qui est compliquée,
ce devaient ètre les situations pédagogiques demandées qui étaient compliquées.

Parce que à la base, c'est juste du spatio-temporel:
la route est à sens unique de A vers B ou le route est à double sens de A vers B et de B vers A.
Deux directions, apprenez leur à traverser, c'est jouable au lycée.

maintenant vu le cinoche sur l'implication, demander l'équivalence, on comprend que les profs se réservent cela pour l'élite, pour plus tard en supérieur et à un certain public.

Du coup, sont autorisées les règles bizarres.
il faut utiliser les conjonctions de coordination dans les rédactions,
oui mais pas le si ... alors ...
Une prof de maths est venue sur ce site nous présenter son blog.
Plutot sympa, avec des conseils de rédaction:
toujours partir de l'énoncé et non pas de ce qui est à démontrer,
et elle met un exemple où l'élève part de la fin et arrive au début.
C'est considéré comme faux, ou au moins comme points à enlever,
alors que l'élève a dans ce cas précis mis en exemple tout à fait le droit d'écrire cela dans le sens inverse.

Il ne s'agit pas que des programmes, puisque l'on nous dit que certains profs autorisent ou n'autorisent pas certaines écritures.C'est bien de la capacité de résistance individuelle dont il est question aussi.

[DamX]

Hello,

Perso de souvenir on utilisait les symboles au lycée sans grande formation/précaution selon les personnes donc ca pouvait vite ressembler à n'importe quoi.

D'ailleurs, mon prof de sup (très bon prof niveau pédagogie) avait proscrit dans son cours et dans nos copies l'utilisation des symboles (hors cours sur la logique booléenne où les symboles sont vus comme des opérateurs entre assertions) pour cette raison.
Si les symboles étaient interdits, la notion ne l'était pas bien au contraire, il fallait l'écrire en français (si...alors, si et seulement si,etc) ou en abréviation (ssi). Un peu extreme mais c'était pour forcer les élèves à penser ce qu'ils écrivaient et non utiliser des symboles sans trop savoir pourquoi.

J'ai retrouvé les symboles une fois en spé :)

Damien

[beagle]

Hello,

Perso de souvenir on utilisait les symboles au lycée sans grande formation/précaution selon les personnes donc ca pouvait vite ressembler à n'importe quoi.

D'ailleurs, mon prof de sup (très bon prof niveau pédagogie) avait proscrit dans son cours et dans nos copies l'utilisation des symboles (hors cours sur la logique booléenne où les symboles sont vus comme des opérateurs entre assertions) pour cette raison.
Si les symboles étaient interdits, la notion ne l'était pas bien au contraire, il fallait l'écrire en français (si...alors, si et seulement si,etc) ou en abréviation (ssi). Un peu extreme mais c'était pour forcer les élèves à penser ce qu'ils écrivaient et non utiliser des symboles sans trop savoir pourquoi.

J'ai retrouvé les symboles une fois en spé

Damien

Ok, le problème est que le si ... alors ... est la traduction du implique.
on interdit d'employer le implique dans les démonstrations (sauf à rajouter si A et A vrai).
donc c'est très hypocrite de le laisser en traduction langage français.
Et les rigouristes du forum comme Paquito conseillent aux élèves de ne pas utiliser le implique mème en traduction française.
alors si pas le implique on voit le malaise pour l'équivalent.

Pourquoi autorise-t-on en partie en français, ben c'est parce que les notions existent avant, elles préexixtent aux symboles.Et ces notions, pour ceux qui veulent les ranger sous le tapis, elles existent avant toute éducation à cette notion.l'implication et l'équivalence préexistent à leur enseignement.

Conclusion qui m'est personnelle: les élèves utilisent mal les symboles, ben corrigez-les, expliquez leur.
c'est pas en fermant les yeux que cela va s'arranger.
Et laissons le si A alors B fonctionner avec A vrai implicite sans avoir à le repréciser pendant le lycée ...

[DamX]

C'est justement le côté A vrai implicite qui est souvent lieu de confusion et devrait donc toujours être explicite.
Si A alors B. Or A. Donc B.

[beagle]

C'est justement le côté A vrai implicite qui est souvent lieu de confusion et devrait donc toujours être explicite.
Si A alors B. Or A. Donc B.

Non, car c'est au nom de cette sophistication de l'usage de la logique,
c'est au nom de l'apprentissage ultérieure par certains, peu nombreux,
cet apprentissage pouvant très bien ètre un approfondissement d'une notion antérieure
moins sophistiquée pour jusqu'au lycée, mais qui fonctionne sans aucun bug ,
notion ou "si A alors B" est utilisé pour dire si A (et A vrai)
notion que toute presonne parlant le français comprend.
Lorsque je veux voir ce qui se passe si le triangle est rectangle
je dis en français si le triangle ABC est rectangle , alors ...
et lorsque le triangle est pris en hypothèse comme non rectangle,
en français c'est : si le triangle n'est pas rectangle alors ...

Ceci marche très bien et sans bug.Donc cela n'engendre aucun faux raisonnement.
Dès lors que chacun joue le jeu de cette utilisation = de ce code.

Or en disant oui, mais plus tard, certains verront une notion plus élargie,
il faudra changer ...c'est au nom de la complexité à venir que l'on complique un truc assez basique.
alors ensuite on dit , ils ne sont pas murs pour ça, c'est trop compliqué pour eux,
interdisons cette utilisation.

[Imod]

Bonsoir Beagle

Le raisonnement par équivalence demande beaucoup de précautions : chaque fois qu'on écrit une ligne il faut vérifier que ça fonctionne bien dans les deux sens et c'est rarement complètement symétrique . Quand Ben a rédigé sa réponse il a bien sûr vérifié les deux sens mais combien de lycéens le font ? S'il avait dû rédigé la condition nécessaire puis la condition suffisante il ne l'aurait certainement pas rédigé pareil ce qui montre bien que le raisonnement n'est pas tout à fait identique dans les deux sens . L'équivalence doit donc faire une synthèse des deux . En bref le raisonnement par équivalence n'est pas un outil puissant qu'on cache pour embêter les étudiants mais un symbolisme à manipuler avec des pincettes permettant de raccourcir certaines démonstrations .

On peut bien sûr rédiger complètement et de façon cohérente une démonstration en partant de la conclusion et c'est un cheminement normal quand on cherche un exercice . Je ne crois pas qu'il faut laisser les élèves suivre ce penchant naturel , l'ordre logique de la rédaction d'une démonstration est : Données-> Conclusions . Tout ça doit bien sûr être nuancé mais les enseignants sont des gens responsables qui ne cachent pas des outils secrets pour freiner les élèves , c'est exactement le contraire . On n'apprend pas à conduire sur une formule 1 :zen:

Imod

[Imod]

Bonsoir Beagle

Le raisonnement par équivalence demande beaucoup de précautions : chaque fois qu'on écrit une ligne il faut vérifier que ça fonctionne bien dans les deux sens et c'est rarement complètement symétrique . Quand Ben a rédigé sa réponse il a bien sûr vérifié les deux sens mais combien de lycéens le font ? S'il avait dû rédigé la condition nécessaire puis la condition suffisante il ne l'aurait certainement pas rédigé de la même façon ce qui montre bien que le raisonnement n'est pas tout à fait identique dans les deux sens . L'équivalence doit donc faire une synthèse des deux . En bref le raisonnement par équivalence n'est pas un outil puissant qu'on cache pour embêter les étudiants mais un symbolisme à manipuler avec des pincettes permettant de raccourcir certaines démonstrations .

On peut bien sûr rédiger complètement et de façon cohérente une démonstration en partant de la conclusion et c'est un cheminement normal quand on cherche un exercice . Je ne crois pas qu'il faut laisser les élèves suivre ce penchant naturel , l'ordre logique de la rédaction d'une démonstration est : Données-> Conclusions . Tout ça doit bien sûr être nuancé mais les enseignants sont des gens responsables qui ne cachent pas des outils secrets pour freiner les élèves , c'est exactement le contraire . On n'apprend pas à conduire sur une formule 1 :zen:

Imod