Exo vietnamien

[emyzer]

Bonjour,

Mon prof de maths a trouvé amusant de nous donner cet exo qui est supposé être faisable par des vietnamiens de 6 eme. J'ai trouvé la solution à la calculette mais je ne sais pas comment la jusitifer clairement.
Voici l'énoncé:

Chercher n entier tq:

(1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+....+1/(8*9*10))*n=22/45

J'ai trouvé n=2 mais je ne vois pas comment le démontrer.
Merci d'avance pour votre aide.

[Pierrot73]

Bonjour,

Mon prof de maths a trouvé amusant de nous donner cet exo qui est supposé être faisable par des vietnamiens de 6 eme. J'ai trouvé la solution à la calculette mais je ne sais pas comment la jusitifer clairement.
Voici l'énoncé:

Chercher n entier tq:

(1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+....+1/(8*9*10))*n=22/45

J'ai trouvé n=2 mais je ne vois pas comment le démontrer.
Merci d'avance pour votre aide.

Bonjour,

En supposant que tu n'aies pas vu les factoriels, une méthode possible serait de calculer chacune de tes fractions :
- 1/(1*2*3) = 1/6
- 1/(2*3*4) = 1/24.
- ...
- 1/(8*9*10))*n = n/720

Après quoi, tu fais la somme (S) des fractions qui ne contiennent pas le "n", et tu te retrouves avec une équation classique : S + n/720 = 22/45

[nodjim]

ça me parait source d'erreur cette méthode.
Voila comment j'ai fait
J'ai d'abord mis 1/6 en facteur commun, et passer le 1/6 de l'autre coté...=44/15
Reste
1+1/4+1/10+1/20+1/35+1/56+1/(28*3)+1/120
Les 4 premiers termes: 7/5
Les 3 suivants: 7/120.
les 3 suivants + le dernier: 8/120=1/15
(7/5+1/15)n=44/15
(22/15)n=44/15
n=2

[Pierrot73]

ça me parait source d'erreur cette méthode.
Voila comment j'ai fait
J'ai d'abord mis 1/6 en facteur commun, et passer le 1/6 de l'autre coté...=44/15
Reste
1+1/4+1/10+1/20+1/35+1/56+1/(28*3)+1/120
Les 4 premiers termes: 7/5
Les 3 suivants: 7/120.
les 3 suivants + le dernier: 8/120=1/15
(7/5+1/15)n=44/15
(22/15)n=44/15
n=2

Ah pardon !! Je n'avais pas bien vu/lu les parenthèses dans l'énoncé !

Ce qu'il faut lire : ( 1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+....+1/(8*9*10) ) *n=22/45
Ce que j'avais lu : 1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+....+1/(8*9*10)*n=22/45 (en gros, le n n'était en facteur que du dernier terme).

Du coup, cela change la donne et je rejoins nodjim dans sa résolution.

Ce que je propose dans mon premier poste peut également être adapté :
- 1/(1*2*3) = 1/6
- 1/(2*3*4) = 1/24.
- ...
- 1/(8*9*10) = 1/720
Après quoi, tu fais la somme (S) des 10 fractions, et tu te retrouves avec une équation classique : S*n = 22/45. Comme tu dois avoir une calculatrice emyzer, tu peux vérifier le résultat de ta somme et repérer de possibles erreurs dans la mise au dénominateur commun des 10 fractions.

[nodjim]

Encore une fois, se lancer dans la somme des 10 fractions me parait hautement périlleux. Manifestement, tu n'as pas fait l'exo.

[Pierrot73]

C'est pour cela que je te rejoins dans ta résolution :lol3: (tout en mettant à jour ce que j'avais écrit dans mon premier post afin que tout soit clair pour ceux qui reliront les deux résolutions proposées.)

[chan79]

on peut remarquer que

On fait une somme téléscopique



Dans notre cas, p=8

[nodjim]

Oui Chan79, mais je doute que ce soit du niveau 6ème...
Je me suis intéressé au score des olympiades Maths ces dernières années. J'ai été plutôt surpris par les résultats:
En tête Chine et USA. Juste derrière: Corée, Thaïlande, Vietnam, Taiwan, Iran (!)...
Les pays occidentaux dans leur ensemble sont plutôt derrière.

[beagle]

22/45 proche de 1/2 bol de riz,mais plutot moins

1/6 premier terme pour n au-dessus de 2, déjà 3 par exemple on est à 1/2 ou plus
donc n=1 ou 2

c'est pas n=1 est plus pénible,car les 8 termes n'arrivent pas à se rapprocher de 1/2
après 1/6 on rajoute du 1/24 puis encore plus petit ...

Sont forts ces momes.
C'est le fameux sketch de Marx:
"Un gamin de 8 ans pourrait faire cet exo.
Qu'on aille me chercher un gamin de 8 ans"

[chan79]

mais je doute que ce soit du niveau 6ème...

les classes sont peut-être numérotées dans l'autre sens au Vietnam ... :lol3:

En tête Chine et USA. Juste derrière: Corée, Thaïlande, Vietnam, Taiwan, Iran (!)...
Les pays occidentaux dans leur ensemble sont plutôt derrière

Nos profs devraient pouvoir échanger avec les profs de ces pays, comparer les méthodes... ?
Ca fait des années qu'on délaisse le calcul mental et même le calcul en général, numérique ou littéral, les jugeant peu profitables ... c'est un peu comme l'orthographe ...
Bon, je ne sais pas vraiment ce qu'il faudrait faire pour que la France progresse dans les classements internationaux.

[Ben314]

Il faut aussi dire que les exercices d'Olympiades sont "assez particuliers" et que si on n'a pas un minimum l'habitude, on ne risque pas de faire grand chose (même si on est "très bon" en math. par ailleurs).
Donc, comme plein d'autre chose, se présenter aux olympiades, ça se prépare, sauf qu'en fonction des pays, il y a plus ou moins d'endroits où on te propose (ou on t'impose...) une préparation.
En France, pour des tas de raisons plus ou moins valable (*) on s'intéresse très très peu aux olympiades, il y a très peu des site de préparation et, si tu ne te renseigne pas toi même pour savoir où et comment s'y préparer, il est très peu probable qu'on te le propose et, évidement, les résultat sont en conséquence.

(*) En particulier, un certain nombre de personnes expliquent que la préparation aux olympiades demande à apprendre des tas de "recettes" pas forcément comprises et que ce n'est pas vraiment très formateur au niveau mathématique.
Si tu cherche sur le net, tu trouvera pas mal de discutions polémiques (françaises) concernant le fait de savoir si les olympiades sont utiles ou pas.

[Pierrot73]

Pour te proposer une réponse adaptée, emyzer, peut-être pourrais-tu nous dire en quelle classe tu es ?

Ca fait des années qu'on délaisse le calcul mental et même le calcul en général, numérique ou littéral, les jugeant peu profitables ... c'est un peu comme l'orthographe ...

Je confirme que le calcul mental est de plus en plus délaissé. J'ai été surpris il y a quelques semaines par une élève de première S que je suis depuis peu en cours de soutien. Elle a des notes correctes en maths (entre 11 et 13) car elle sait très bien appliquer les formules du cours ; et je m'aperçois qu'elle les comprend. Par contre, sans la calculatrice, elle est perdue ! Elle bute sur des additions de nombres à un seul chiffre, et je ne parle pas de la gestion des nombres négatifs ... Plus surprenant encore, elle panique, oublie son cours et n'est plus capable de retrouver ses formules si elle n'a pas la présence physique de sa TI à ses côtés. C'est la première fois que je suis face à ce type de blocage psychologique, intéressant certes pédagogiquement, mais qui nécessite de l'inventivité

[chan79]

Il faut aussi dire que les exercices d'Olympiades sont "assez particuliers" et que si on n'a pas un minimum l'habitude, on ne risque pas de faire grand chose (même si on est "très bon" en math. par ailleurs).
.

Il serait sans doute plus intéressant de voir les classements PISA, mais je ne connais pas bien.

[nodjim]

http://www.imo-official.org/results.aspx

[emyzer]

Merci beaucoup pour vos réponses. Désolé d'insister mais est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la méthode de la suite télescopique svp ? C'est une technique que je trouve plus belle que la factorisation par 1/6. Une méthode pour laquelle j'avais pensé mais j'étais persuadé qu'il y avait une méthode beaucoup plus simple et très rapide sans s'empêtrer dans de nombreux calculs.
Merci d'avance et merci à ceux qui ont repondu.

[nodjim]

Tu décomposes le 1er élément comme l'a fait chan, tu as quelque chose comme a-b. En décomposant le second élément, tu trouveras b-c. D'où (a-b)+(b-c)+(c-d)...conduit à supprimer toutes les valeurs intermédiaires.

[emyzer]

Tu décomposes le 1er élément comme l'a fait chan, tu as quelque chose comme a-b. En décomposant le second élément, tu trouveras b-c. D'où (a-b)+(b-c)+(c-d)...conduit à supprimer toutes les valeurs intermédiaires.

D'accord je te remercie. Mais j'avais compris ce raisonnement ce que je ne comprends pas c'est comment il a pensé à cette réécriture de la suite qui a permis d'aboutir à ce résultat.

[Pierrot73]

Merci beaucoup pour vos réponses. Désolé d'insister mais est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la méthode de la suite télescopique svp ? C'est une technique que je trouve plus belle que la factorisation par 1/6. Une méthode pour laquelle j'avais pensé mais j'étais persuadé qu'il y avait une méthode beaucoup plus simple et très rapide sans s'empêtrer dans de nombreux calculs.
Merci d'avance et merci à ceux qui ont repondu.

Croisement de post avec nodjim

On appelle somme télescopique une somme de la forme :
La plupart des termes s'annulent et la somme vaut

Dans notre cas :
Comme l'a fait chan79, on peut écrire , avec p un entier entre 1 et 8, ce qui permet de définir la fonction et de formuler chaque terme
Si tu sommes deux termes consécutifs de rang p et p+1, tu auras et les termes vont s'annuler. D'où le résultat de chan79.

[emyzer]

Croisement de post avec nodjim

On appelle somme télescopique une somme de la forme :
La plupart des termes s'annulent et la somme vaut

Dans notre cas :
Comme l'a fait chan79, on peut écrire , avec p un entier entre 1 et 8, ce qui permet de définir la fonction et de formuler chaque terme
Si tu sommes deux termes consécutifs de rang p et p+1, tu auras et les termes vont s'annuler. D'où le résultat de chan79.

Je te remercie c'est vraiment très clair ! Je sais comment il a réussi à réécrire la suite maintenant.

[Pierrot73]

Je te remercie c'est vraiment très clair ! Je sais comment il a réussi à réécrire la suite maintenant.

Faire ça en 6ème, c'est costaud quand même. Au fait, tu es en quelle année emyzer ?