[1erS] Exo barycentre

[bioOo]

Bonsoir à tous et à toutes. Voila j'voudrais bien que vous puissiez vérifier mes résultats et m'aider sur la question d) de l'ex 37. Voici les exos ainsi que mes réponses:

Exercice 37



On considère trois points A,B et C du plan et un point M quelconque dans le plan.

a. Démontrer que le vecteur W=MA+2Mb-3MC est indépendant du point M.
b. En déduire l'égalité 2AB-3AC=CA+2CB.
c. En considérant le barycentre J des points pondérés (A,1) et (B,2), démontrer que W=3CJ.
d. Déterminer et construire l'ensemble E des points M du plan tels que llMA+2MBll = ll MA+2MB-3MC ll
e. Soit K le barycentre de (B,2) et (C,-3).
Démontrer que les droites (CJ) et (AK) sont parallèles.

Réponses:

ON utilise la relation de Chasles ce qui donne :

W = MA + 2MB – 3MC = MA + 2MB + CM + 2 CM = CA +2 CB

On en conclut que le vecteur W est indépendant du point M.

b) W ne depend pas de M, donc si on remplace M par A ou par C, on retrouve le même vecteur.

En remplacant M par A, on obtient 2AB – 3AC
En remplacant M par C, on obtient CA + 2CB

c)
on a déjà établi que W = CA + 2CB or la propriété fondamentale du barycentre permet d'écrire, pour J barycentre des points pondérés (A,1) et (B,2) : ( 1 +2) CJ = CA + 2CB. on a donc bien
W= 3 CJ

d)J'vois pas trop comment faire.


e) K est le ba

rycentre de ( B,2 ) et ( C, -3 ), on utilise la propriété fondamentale du barycentre pour K avec le point A , on a donc :

2AB – 3AC = ( 2-3) AK

Donc ( 2-3) AK = 2AB – 3AC = W =3CJ

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Exercice 38 :

ABC est un triangle, G est son centre de gravité, et K est le barycentre des points (A,2), (B,2) et (C,-1).
Déterminer, pui construire l'ensemble des points M du plan tels que:

a. 2MA+2MB-MC soit colinéaire à AB
b. ll 2MA+2MB-MC ll = ll 2MA-MB-MC ll (on montrera que c'est un cercle de rayon AG)
c. ll 2MA+2MB-MC ll = ll MA+MB+MC ll

Réponses:

a) 2MA + 2MB – MC soit colinéaire à AB

2MA + 2MB – MC = 3MK, d'après la propriété fondamentale du barycentre appliqué au barycentre K.

L'ensemble des points M du plan tels que 2MA + 2MB – MC soit colinéaires à AB est l'ensemble des points tels que 3MK = k AB ( k réel ) soient colinéaire, donc l'ensemble des points M est la droite parallèle à ( AB) passant par K.


b)

2MA + 2MB – MC = MK

2MA + 2MB - MC = 3 MK

2MA - MB - MC
= 3MA - (MA + MB + MC)
= 3MA - 3MG
= 3GA


||2MA + 2MB - MC|| = ||2MA - MB - MC ||
<=> ||3MK|| = ||3GA||

ou encore 3MK = 3AG ( sans vecteur )

soit MK = AG ( sans vecteur )

L'ensemble des points M tels que MK = AG est le cercle de centre K et de rayon AG.

c)

||2MA + 2MB - MC|| = ||MA + MB + MC||
||3MK|| = ||3MG||
||MK||=||MG||

Donc MK = MG ( sans vecteur )

L'ensemble des point M recherché est donc l'ensemble des points équidistants des points K et G : c'est la médiatrice du segment [KG].

Merci d'avances de vos réponses !

[Aurelien_]

Bonjour,

Ex 37:
Ok pour tes réponses aux questions a, b, c et e.
d. par définition, on sait que MA+2MB-3MC=W
et pour MA+2MB, utiliser le point J.
...

Ex 38:
Ok !