Petite intégrale

[Julia_M]

Je découvre l'intérêt (pas seulement égoiste !) d'un tel forum ... Je poste plutôt sur des forums orientés "shopping" ... mais tout arrive.

Je sens que je bricole et j'ai une question afin d'éviter de sécher sur un "bête" calcul d'intégrale que voici (les bornes importent peu):

Int {x.(1-x)/exp(x).(1+x)}, soit Int {exp(-x).x(1-x)/(1+x)}

Je ne sais si je suis bien dans le cas P(x).exp(x) avec P(x) = polynôme (c'est une fraction rationnelle ici plutôt !).
Je me suis mise à faire une intégration par partie avec u = x(1-x)/(1+x) et j'obtiens alors:
u' = (-x^2-2x+1)/(x+1)^2
v' = exp(-x) => v = -exp(-x)
Je retombe sur une 2eime intégration par partie avec u' = -4/(x+1)^3 .. et je retrouve une intégrale avec le terme -4/(x+1)^3 multiplié par exp(-x) .. bref ça ne se simplifie pas. En tenant de "permuter" l'intégration par partie (u = exp(-x) => u' = -exp(-x) ..) je n'aboutis pas mieux.

Je sèche et je me demande si je ne fais pas erreur (ici p(x) est une fraction) et si un changement de variable du genre exp(-x) = t ne serait pas la solution.

Une âme charitable pourrait-elle me donner une indication siouplaît ?

Julia.

[fibonacci]

Bonjour;

il ne faut pas faire abstraction des bornes car parfois on ne sait pas trouver les primitives mais on pourra trouver les intégrales correspondantes

ex:

on peut écrire

[Julia_M]

Bonjour,

Merci pour le retour. Précision: je recherche une primitive, ce n'est pas une intégration avec bornes. J'ai fait une décomposition et en effet je trouve pour l'expression à intégrer:

exp(-x)*[-x + 2 - 2/(x + 1)]

De façon directe ou via une IPP très simple on trouve le résultat indiqué ... sauf pour le terme suivant qui reste à intégrer:
exp(-x)*[1/(x + 1)]

Je ne sais pas intégrer un truc pareil (je crois qu'il faut passer par un développement en série). Rem: Je pense donc avoir fait une erreur en amont dans mon exercice !

Cdt,

Julia

[aymanemaysae]

Le calcul de cette intégrale repose avant tout sur le calcul de l'exponentielle intégrale de (-x - 1): expint(-x - 1) .
On trouve que : intégrale {((x * (1 - x) / (1 + x)) exp(-x)) dx} = exp(-x) {-2 exp(x+1) + expint(-x - 1) + x - 1} + cte .
En utilisant Wolphram alpha on trouve une valeur approchée de cette intégrale entre 0 et +infini
égale à 0,1926947246463883 .
A propos de la notion de l'exponentielle intégrale, il y a des choses très intéressantes sur ce lien : https://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle_int%C3%A9grale .