Problème 1ere S

[Marie021]

Bonjour a tous , alors voila j'ai un problème de maths a résoudre seulement je n'y arrive vraiment pas , voici mon problème :

ABC est un triangle quelconque .
I est le milieu de [AB] , J celui de [AC] .
M est le point tel que ABJM est un parallélogramme , N est le point tel que AICN est un parallélogramme.
P est le milieu du segment [MN]
Que dire des droites (AP) et (BC) ?

Ce problème peut se résoudre de plusieurs façon et je dois en trouver le maximum mais je n'ai aucune réponse pour l'instant :help:

Je pensais au début résoudre ce problème en utilisant les vecteurs mais je ne trouve pas d'égalité ou de comparaison possible :hein:

Par avance merci de votre aide

[bellachia2012]

Appliquer le théorème des milieux dans les triangle. Bon courage.

[Marie021]

Merci beaucoup pour votre réponse mais je ne vois pas comment appliquer ce théoreme car les droites passent effectivement par le milieu d'un coté du triangle mais elle ne peut pas être parallèle a l'autre coté car elle passe par un sommet du triangle . Et les deux triangles contenus dans la figure ne sont pas collés alors je ne trouve pas comment démontrer que les droites (AP) et (BC) sont parallèles

[chan79]

Je pensais au début résoudre ce problème en utilisant les vecteurs

salut
bonne idée
Place le point E, milieu de [JM].
Montre que
Tu en déduis que (AE) et (IJ) sont parallèles

[Marie021]

salut
bonne idée
Place le point E, milieu de [JM].
Montre que
Tu en déduis que (AE) et (IJ) sont parallèles

J'ai pensé faire quelque chose comme ça , le seul souci c'est qu'on me demande de parler des droites (AP) et (BC) mais si (AE) et (IJ) sont parallèles est ce que ça signifie que (AP) et (BC) le sont aussi ?

[chan79]

J'ai pensé faire quelque chose comme ça , le seul souci c'est qu'on me demande de parler des droites (AP) et (BC) mais si (AE) et (IJ) sont parallèles est ce que ça signifie que (AP) et (BC) le sont aussi ?

d'une part (IJ) // (BC)
d'autre part (EP) // (JN) ou (IJ)
tout ça est à justifier ...

[siger]

Bonjour

reponse supprimée

[Marie021]

les droite (AP) et (BC) se coupent en K milieu de [BC]

J'ai un schéma joint a cet exercice et sur celui ci , (AP) et (BC) semblent parallèles , il est donc impossible que ces droites se coupent

[siger]

Re

mile excuses

j'ai malheureusement confondu les quadrilatere ABJM et ABMJ , ainsi que AICN et AINC d'ou un schema different

[Marie021]

Re

mile excuses

j'ai malheureusement confondu les quadrilatere ABJM et ABMJ , ainsi que AICN et AINC d'ou un schema different

Aucun problème , je poste une image du schéma en espérant qu'elle soit visible :
[img][IMG]http://img11.hostingpics.net/pics/847557001.jpg[/img][/IMG]

[Marie021]

Re

mile excuses

j'ai malheureusement confondu les quadrilatere ABJM et ABMJ , ainsi que AICN et AINC d'ou un schema different

Aucun problème , je vous poste une image du schéma en espérant qu'elle soit visible

[siger]

re

(pour me faire pardonner!)

dans le systeme d'axes (B,BC,BA) on a
B(0,0), C(1,0), A(0,1), J(1/2,1/2)
BM = BJ + JM donc M(1/2,3/2)
BN = BC + CN = BC + BI donc N( 1,1/2)
par suite on a les coordonnees de P
xP = (xN + xM)/2 = 3/4
yP=( yM+yN)/2 = 1
d'ou les coordonnees de AP : xAP = 3/4 et yAP = 0
donc AP est parallele a BC

[Marie021]

Ahah merci beaucoup :+++:
pensez-vous qu'il est possible de faire un calcul de vecteur (exemple: AP = 1/2 BJ + 1/2 IC et BC = BJ + AJ ) afin de prouver que ces droites sont parallèles ?

[Marie021]

re

(pour me faire pardonner!)

dans le systeme d'axes (B,BC,BA) on a
B(0,0), C(1,0), A(0,1), J(1/2,1/2)
BM = BJ + JM donc M(1/2,3/2)
BN = BC + CN = BC + BI donc N( 1,1/2)
par suite on a les coordonnees de P
xP = (xN + xM)/2 = 3/4
yP=( yM+yN)/2 = 1
d'ou les coordonnees de AP : xAP = 3/4 et yAP = 0
donc AP est parallele a BC

Ahah merci beaucoup :+++:
pensez-vous qu'il est possible de faire un calcul de vecteur (exemple: AP = 1/2 BJ + 1/2 IC et BC = BJ + AJ ) afin de prouver que ces droites sont parallèles ?

[siger]

re

oui sans doute en tilisant les milieux

AP = (AM +AN)/2
AN = IC = -( CA + CB)/2
AM = BI =(BC+BA)/2
avec BA= BC + CA
.......

[Marie021]

Est-ce qu'une démonstration géométrique serait possible dans ce problème ?

[siger]

Re

oui, mais un peu compliquée

Soit
Q l'intersection de CN et de la parallele a BC passant par A
R l'intersection de AM et de CN
L le mileu de AQ et comme AMQJ est un parallelogramme L est aussi le milieu de MJ

il faut montrer que P milieu de NM se trouve sur AQ donc que MLNQ est un parallelogramme car P milieu de la diagonale MN se trouve sur l'autre diagonale LQ donc sur AQ

en utilisant les proprietés des droites des milieux dans les triangles RAC et QAC on montre que MQ , LN et AC sont paralleles et que MQ=LN = AC/2
Dans le triangle ACQ , L N est parallele a CQ et egale a CN=NQ
on a donc ML parallele est egal a NQ

par suite MLNQ est un parallelogramme et P est sur AQ
donc AP est parallele a BC

[Marie021]

Re

oui, mais un peu compliquée

Soit
Q l'intersection de CN et de la parallele a BC passant par A
R l'intersection de AM et de CN
L le mileu de AQ et comme AMQJ est un parallelogramme L est aussi le milieu de MJ

il faut montrer que P milieu de NM se trouve sur AQ donc que MLNQ est un parallelogramme car P milieu de la diagonale MN se trouve sur l'autre diagonale LQ donc sur AQ

en utilisant les proprietés des droites des milieux dans les triangles RAC et QAC on montre que MQ , LN et AC sont paralleles et que MQ=LN = AC/2
Dans le triangle ACQ , L N est parallele a CQ et egale a CN=NQ
on a donc ML parallele est egal a NQ

par suite MLNQ est un parallelogramme et P est sur AQ
donc AP est parallele a BC

A oui effectivement c'est compliqué !

[chan79]

A oui effectivement c'est compliqué !

Comme te l'a dit siger hier à 17h08, en jonglant avec les vecteurs, tu arrives à :

[Marie021]

Comme te l'a dit siger hier à 17h08, en jonglant avec les vecteurs, tu arrives à :

Oui , merci j'avais pris son conseil et j'avais déja trouvé cette réponse , mais le but de l'exercice étant de trouver le maximum de démonstrations je souhaitais en trouver une autre