Problème bille sphérique 1ere S.

[Golan]

Bonjour,
Je planche depuis longtemps sur ce problème mais je n'y arrive pas.

Voici l'énoncé :

1. On dépose une bille sphérique de rayon 5 cm dans un récipient cylindrique de diamètre 16 cm et contenant V0 cm³ d'eau.
La surface de l'eau est tangente à la bille.
Calculer le Volume V0 d'eau contenu dans le récipient.

Je sais que :
V(boule) = 4/3 R³
V(cylindre) = x R² x H

Ici
V( bille) = 4/3 x 5³
V( bille) = 500/3 cm³

V(cylindre) = x 8² x 10
V(cylindre) = 640 cm³
Donc :
V(eau) = V(cylindre) - V( bille)
V(eau) = 1420/3 cm³

A vérifier.

2.Pour les billes sphérique de rayon x cm, avec 0 < x 8 , plongée dans ce récipient contenant V0 cm³ d'eau , on se propose de savoir si la bille dépasse ou non de la surface de l'eau.
On note V(x) le volume d'eau , en cm³ , nécessaire pour recouvrir exactement la bille et on note f(x) = V(x) – V0
a) Vérifier que f(x) = (4 )/3 (-x³ +96x -355)

b) Démontrer que pour tout x ]0;8[ f(x) = (4 )/3 (x - 5 )(ax² + bx + c) où a,b,c sont des réelsà préciser.

c) Existe t-il une valeur x0 de x, autre que 5 pour laquelle il ya affleurement ?
Si oui, déterminer l'arrondi au dixième de x0 .

d) Déterminer le signe de f(x) à l'aide d'un tableu de signes.

e) En déduire les valeurs de x, pour lesquelles les billes sont recouvertes par l'eau, et celles pour lesquelles les billes sortent de l'eau.


Je pense pouvoir réussir la c) et la d) mais je bloque à la a) et b).

Merci de votre aide.

[Golan]

Je me permet de faire un petit Up. :we:

[Golan]

Nouveau UP

[Black Jack]

1. OK

2a.

V(x) + V bille = V cyl (de hauteur = 2 fois le rayon de la bille)

V(x) + (4/3).Pi.x³ = Pi * 8² * 2x

V(x) = ...

Et avec Vo = 1420/3 * Pi, V(x) - Vo = ...

On arrive effectivement à l'expression mentionnée de f(x).

:zen:

[Golan]

Je n'ai pas compris.
Pouvez vous détailler un peu plus les calculs ?

[Black Jack]

Je n'ai pas compris.
Pouvez vous détailler un peu plus les calculs ?

Le volume d'eau à mettre (pour effleurer le haut de la bille) dans le cylindre est appelé V(x)

Le volume d'eau + volume de la bille doit être égal au volume du cylindre rempli jusque'à une hauteur égale au diamètre de la bille.

Avec x (en cm) le rayon de la bille et le rayon du cylindre = 8 (cm), la phrase précédente se traduit mathématiquement par :

V(x) + (4/3).Pi.x³ = Pi * 8² * 2x

Si tu as compris cela, tu peux en tirer V(x) = ...
********
Et comme Vo = 1420/3 * Pi cm³ (que tu as trouvé dans la partie 1 de l'exercice, tu peux alors trouver l'expression de :

V(x) - Vo = ...

Et tu vas arriver à ce qui a été donné dans l'énoncé, soit : V(x) - Vo = (4 )/3 (-x³ +96x -355)
***

Peux pas en dire plus, sans faire tout l'exercice à ta place ... Et cela c'est interdit par les règles du site.

:zen:

[Golan]

C'est bon j'ai réussi entre temps merci quand même. Maintenan je bloque à la b). :mur:

f(x) = (4 ;))/3 (x - 5 )(ax² + bx + c)
Est ce que c'est utile d'écrire :
(4 ;))/3 (-x³ +96x -355) = (4 ;))/3 (x - 5 )(ax² + bx + c) ?

Il faut essayer de mettre (x - 5 ) en facteur dans (-x³ +96x -355) , non ?

[Black Jack]

C'est bon j'ai réussi entre temps merci quand même. Maintenan je bloque à la b). :mur:

f(x) = (4 )/3 (x - 5 )(ax² + bx + c)
Est ce que c'est utile d'écrire :
(4 )/3 (-x³ +96x -355) = (4 )/3 (x - 5 )(ax² + bx + c) ?

Il faut essayer de mettre (x - 5 ) en facteur dans (-x³ +96x -355) , non ?

Il existe plusieurs méthodes, celle qui t'est proposée soit :
Poser (-x³ +96x -355) = (x - 5 )(ax² + bx + c)

Développer le membre de droite de l'équation et puis identifier les coefficients de même puissance en x des 2 membres.
Cela aboutit à un système d'équations d'inconnues a, b et c qu'il faut résoudre ...

Ou bien, effectivement "triturer" la relation "(-x³ +96x -355)" pour faire apparaître le facteur (x-5) qu'on pourra mettre en évidence.
Cette méthode est plus rapide ... mais demande un poil de doigté en plus que l'autre qui est plus longue mais sans aucune subtilité.

On peut aussi, si on l'a appris, faire la division du polynome (-x³ +96x -355) par (x - 5).

Ici, on te tord le bras par l'énoncé pour devoir appliquer la première méthode.
Classique, l'enseignement pousse de plus en plus vers le "apprends par coeur" que vers la réflexion... Et c'est bien dommage.

:zen:

[Golan]

On pose : (-x³ +96x -355) = (x - 5 )(ax² + bx + c) équivaut à
(-x³ +96x -355) = ax³ + bx² + cx - 5ax² - 5bx - 5c

Ensuite je suis bloqué.

[Black Jack]

On pose : (-x³ +96x -355) = (x - 5 )(ax² + bx + c) équivaut à
(-x³ +96x -355) = ax³ + bx² + cx - 5ax² - 5bx - 5c

Ensuite je suis bloqué.

(-x³ +96x -355) = ax³ + bx² + cx - 5ax² - 5bx - 5c
(-x³ +96x -355) = ax³ + (b-5a)x² + (c - 5b)x - 5c

On identifie les coeff de même puissance en x dans les 2 membres --->

-1 = a
0 = b-5a
96 = c - 5b
-355 = -5c

...

:zen:

[Golan]

Merci. Je n'avais pas pensé à mettre x et x² en facteur.
Je trouve a = -1 b= -5 et c = 71.

c)
Donc -x² -5x +71 avec : a = -1 b= -5 et c = 71
Delta = b² - 4ac = 309
x'= (-5 + racine de 309)/2

x'' = -(5 + racine de 309)/ 2

[Golan]

Donc x0 = (-5 + racine de 309)/2 car -(5 + racine de 309)/ 2 est impossible.
Arrondi au dixième ça donne 6,3.

d) Par contre pour le tableau de signes j'utilise quelle expression de f(x)?

[Golan]

Je fais un tableau de signe pour -x² -5x +71 ?

[Golan]

UP... :we:

[Ben314]

Salut,
Pour trouver le signe d'une expression, il vaut mieux l'avoir sous la forme la plus factorisée possible pour pouvoir étudier le signe de chacun des facteurs et en déduire le signe du produit...

[Golan]

Don je factorise -x² -5x +71 ou (x - 5 )(-x² -5x +71 ) ?

[Black Jack]

Don je factorise -x² -5x +71 ou (x - 5 )(-x² -5x +71 ) ?

La question est : Déterminer le signe de f(x) à l'aide d'un tableau de signes.

Et tu sais que :
f(x) = (4 )/3 (x - 5 )(ax² + bx + c)
f(x) = (4 )/3 (x - 5 )(-x² -5x +71 )

alors ...

:zen: