Devoir de structure algébrique

[AucunPseudonyme]

Bonjour, il y a deux questions d'un de mes exercices de mon devoir maison que je n'arrive pas à faire.
1) on me demande de montrer que (1+6X) est inversible dans Z/9Z[X] puis on me demande de déterminer son inverse.
2) On me demande de montrer que Z/9Z[X] n'est pas intègre.

Pour le 1) j'avais supposer qu'il existait un polynôme Q(X) tel que (1+6X) * Q(X) = 1 (9X)
<=> (1+6X)*Q(X) - 1 (9X) = 0 (9X)
Et là, je bloque

Et pour le 2), sachant que 9 est premier, l'anneau quotient Z/9Z est intègre, mais le fait que l'on transforme cet anneau en un anneau polynomial change tout.

Merci de votre aide et bonne journée. :happy2:

[arnaud32]

ecris Q et cherche des relations que doivent verifier ses coefficients

9 est premier?

[Robot]

Les égalités que tu écris pour le 1) sont modulo 9, et pas modulo 9X.

[AucunPseudonyme]

arnaud32 : Je pense que Q doit s'écrire sous la forme de aX+b (il est de degré < ou = à mais je suis pas sur) Et en effet, 9 n'est pas premier, du coup, est-ce correct de dire que si l'on prend "3X" et "3" qui sont tous les deux différents de 0, quand on les multiplient donne 9X = 0 donc Z/9Z [X] est intègre ?
Robot : Nan, en fait, je voulais écrire un anneau quotient polynomial, du coup c'est bien modulo 9X, pas 9.

[Robot]

arnaud32 : Je pense que Q doit s'écrire sous la forme de aX+b (il est de degré < ou = à mais je suis pas sur) Et en effet, 9 n'est pas premier, du coup, est-ce correct de dire que si l'on prend "3X" et "3" qui sont tous les deux différents de 0, quand on les multiplient donne 9X = 0 donc Z/9Z [X] est intègre ?
Robot : Nan, en fait, je voulais écrire un anneau quotient polynomial, du coup c'est bien modulo 9X, pas 9.

Tu te trompes complètement.
, c'est l'anneau des polynômes à coefficients dans l'anneau . Ses éléments sont de la forme , avec les .
Si tu veux écrire cet anneau comme un quotient de , c'est le quotient par l'idéal engendré par la constante et pas par l'idéal engendré par . Comme je le disais, les égalités sont modulo et pas modulo .
Mets-toi au clair là-dessus avant de penser à résoudre l'exercice.
Et relis-toi avant d'envoyer un message, tu écris pas mal de bêtises.

[AucunPseudonyme]

Ah, merci, je pense être maintenant sur la bonne piste, j'ai compris mon erreur.

[Robot]

la classe de 0 = {Polynôme P(X)= A0 + A1X + A2X²+.... AiX^i/pour tout Ai tel que 9/Ai} ?

Plus correctement, la classe de 0 est l'ensemble des polynômes à coefficients entiers tels que 9 divise pour tout .

[AucunPseudonyme]

Merci beaucoup Robot. Du coup, j'ai peut être trouvé les solutions :
1) (1+6X) * (Q(X)) = 1
(1+6X) * (Q(X)) - 1 = 0
On prends d°Q(X) = d°(1+6X) = 1 (toutefois, je ne sais pas si on peut se permettre d'affirmer que Q(X) est forcément du même degré que (1+6X)
Donc Q(X) = (aX + b)
(1+6X) * (aX + b) - 1 = 0
X²(6a) + X(6b + a) + b-1 = 0
On a donc un système :
b-1 = 9*k
(6b + a) = 9*j
6a = 9*l
On essaye b = 1
1-1 = 9*0
(6 + a) = 9*j
6a = 9*l
On pose a = 3
6+3 = 9*1
6*3 = 18 = 9*2
on a donc bien (3X+1)*(1+6X) = 1 donc (3X+1) est bien l'inversible de (1+6X)

2)On prends 3 et 3X appartenant à Z/9[X]
3 différent de 0
3X différent de 0
3*3X= 9X = 0 donc Z/9Z[X] n'est pas intègre.

Ai-je bon ? Encore merci de votre aide.

[Robot]

Ai-je bon ? Encore merci de votre aide.

Ca va. Quelques remarques :
. Or pour tout de carré nul, . Peux-tu recoller ça avec ce que tu as écrit ?
Pourquoi aller cherche ? On a et . L'anneau de polynômes sur un anneau commutatif est intègre si et seulement si est intègre.