Anneau intègre

[elino10]

Bonjour,
Voici l'intitulé de mon exercice

Soit A un anneau commutatif intègre. Rappelons qu'un élément non nul p de A est premier s'il n'est pas unité et si, lorsque p divise un produit d'éléments de A, il divise l'un des termes
1) Montrer qu'un élément p est premier si et seulement si A/(p) est intègre
2) Montrer que tout élément premier de A est irréductible
3) Supposons que A est factoriel. Montrer qu'un élément de A est premier si, et seulement si, il est irréductible

Dans mon cours j'ai la définition d'un anneau commutatif intègre.


Déjà dans la définition de nombre premier il y a quelque chose qui me dérange
4 divise 4*7 pourtant 4 n'est pas premier

Pour la question 1 je ne sais pas s'il s'agit de l'anneau quotient ou de A privé de (p)

Pour la question 2 j'ai raisonné par récurrence :
supposons a appartient à A premier et a=bc
a divise b ou a divise c
Prenons a divise b
b=ad
a=bc=adc
donc dc=1 car A intègre a a!=0
je ne sais pas comment conclure

Pour la question 3 je ne sais pas ce qu'est un anneau factoriel, je regarde sur internet en ce moment

Merci pour votre aide

[Doraki]

4 divise aussi 2*14 mais il ne divise ni 2 ni 14 donc il ne peut pas être premier.

Pour la 1, A/(p) est l'anneau quotient, A quotienté par l'idéal (principal) engendré par p

Pour la 2, il faudrait que tu rappelles la définition d'irréductible, parceque là t'as fini mais tu t'en rends pas compte.

[elino10]

irréductible :
a n'est pas inversible
a n'est pas produit de deux éléments non inversibles

Le truc c'est que l'anneau quotient je l'ai jamais vu en cours

[Doraki]

Pourquoi diable est-ce que tes exos parlent de trucs que tu n'as pas vus en cours.