Anneau intégre ( Montrer une equivalence )

[raito123]

Bonsoir,

Je dois montrer que si est un anneau parfait alors n est premier !!

C'est assez evident mais pour rédiger :mur: alors comment pourrais-je le faire :hein:

Je tente :

je suppose que est un anneau parfais et que n n'est pas premier !

n pas premier donc y a un et différents de dans tel que : ce qui est absurde car dans un anneau parfais y a aucun diviseur du zero !!

Est-ce bon !?

[Nightmare]

Salut :happy3:

Anneau parfait = Anneau intègre?

Soit

puisque x est non nul alors n ne divise pas x.
On en déduit que et d'après Bezout x est donc inversible. (Là on vient de montrer que Z/nZ est un corps)

Considérons alors a et b tels que ab=0 et a différent de 0
a est donc inversible et on a :
b=1/a * (ab)=0

Z/nZ est intègre.

[raito123]

Salut nightmare :we: !!

Si x est non nul ça ne veut pas dire que pgcd(n,x)=1 (plutôt seulement si on suppose que n est premier ,non!? ce qui nest pas le cas ici (on doit montrer que n est premier )!)

[Nightmare]

Oupss !! Oui pardons j'ai fait le sens réciproque.

Par contre-apposition c'est simple :

Si n est composé : Il existe a et b non nuls tels que n=ab

On a alors ab=0[n] sans pour autant que a et b soient nuls.

[raito123]

Ok !! donc ce que j'avais écrit en haut est juste !!

Tu peux me citer la définition d'un corps stp!!?

[Nightmare]

Un corps c'est un anneau dont tous les éléments non nuls sont inversibles pour la loi multiplicative.

[raito123]

Ok !! Merci :we:

Et bonne soirée à toi!!

PS: en fait c'est la même chose toi t'es parti du fait que n est premier et tu as démontrer que si ab=0 alors b=0 , Merci encore ++