Anneau integre fini

[aviateurpilot]

slt les amis,

j'ai passé un DS aujourd'huit.
j'avait ce exo:
B anneau integre, A sous anneau de B tel que, , il existe tel que et le coeifficiant du plus haut degré c'est
montrer que: A corps B corps

j'ai fait une solution qui n'ai pas complete.
aider moi pôur la completer ou montrer moi mes fautes.
et merci d'avanvce:

si B corps, il est facile de trouvé que A est un corps.
supposons que A corps,
soit ,
il existe ,tel que
soit { / }
si
soit , on a absurd
donc
c-à-dire, ,
donc est fini.
donc le nombre de polynome de A[X] est fini
donc {b \ il existe tel que } est fini
or
donc B est un anneau integre fini

[yos]

T'as juste à prouver que b est inversible et l'égalité P(b)=0 te donne une égalité bc=1 donc un inverse de b (pour peu que le coef constant de P soit non nul, ce qui est toujours faisable).
J'ai regardé un peu vite. Dis moi si c'est ce que tu attends.

[abcd22]

Si B corps, il est facile de trouvé que A est un corps.

Oui, il faut vérifier que l'inverse d'un élément de A est bien dans A quand même.

supposons que A corps,
soit b\in B-A,
il existe p\in A[X],tel que P(x)=(x-b)Q(x)

Q n'est pas forcément dans A[X] : prends par exemple et P = X² + 1. La suite du raisonnement ne marche pas du coup, et c'est aussi un contre-exemple à ta conclusion « A et B finis ».

donc A est fini.
donc le nombre de polynome de A[X] est fini

Ce n'est pas parce que A est fini que A[X] est fini : il y a tous les déjà. Si A est fini, l'ensemble des polynômes de A[X] de degré (pour d entier postif) est fini et A[X] est dénombrable (mais pas fini).

[Yipee]

Je viens de le faire. Je trouve que la partie la plus dur est de montrer que A est un corps si B est un corps. Le cas contraire est assez simple. On prend b dans B, on l'annule par un polynôme. On met le terme constant (noté a) d'un coté et on factorise par b le reste et cela donne l'inverse en multipliant par l'inverse de a. Si jamais le polynôme annulateur a une racine en 0 on obtient de même qu'une puissance de b est inversible ce qui implique que b est inversible.