Topologie des matrices

[morlock84]

Bonsoir,

je cherche à prouver que est un ouvert de . J'ai décomposé cet ensemble en 2 ensembles et , le premier contenant les matrices de diagonalisables et le 2e les matrices non diagonalisables. Je souhaiterais donc prouver que les 2 sont ouverts pour conclure par union d'ouverts. J'ai réussi pour , mais impossible pour ... Si quelqu'un a une idée, je suis preneur.

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Le polynôme minimal de A est égal à son polynôme caractéristique ssi la famille est une famille libre de .
Si on regarde uniquement comme un espace vectoriel alors chaque matrice est représenté par un vecteur colonne de de haut (les même coeff que ceux de la matrice mais mis en colonne) et la famille est représentée par une matrice .
Le fait que cette famille soit libre signifie qu'on peut extraire un sous-déterminant non nul de cette matrice .
La continuité des fonctions et de la fonction déterminant permet alors de conclure (sans distinguer le cas diagonalisable du cas non diagonalisable)

P.S. : Ton E1 est effectivement ouvert, mais pas E2 : si tu part d'une matrice A non diagonalisable, il est clair que tu peut trouver des matrices diagonalisable aussi proche que tu veut de A vu que l'ensemble des matrices diagonalisables à valeurs propres distinctes est un ouvert dense de .