Un problème d'éspace (vectoriel)

[Chameley]

Bonsoir :we:
Veuillez m'excuser du dérangement, mais j'avais une question à laquelle j'ai eu beau chercher pendant environ ... 2 heures (sans rire, si même plus), mais je n'ai pas pu avancer d'un pouce.

Le pb est le suivant :
(0 0 0)
Soit A=(-2 2 0) (A est une matrice à 3 lignes et 3 colonnes de R)
(-2 3 -1)

On considère l'application f de M(3,1) (R) dans M(3,1) (R) définie par f(X)= AX
On nous a demandé de prouver que c'est une application linéaire puis de déterminer son noyau, ce qui est fait.
(1)
(ker f = Vect (1) )
(1)

On nous demande maintenant de montrer que l'ensemble F des vecteurs U de M(3,1) (R) tels que f(U) = 2U est un sous espace vectoriel engendré par le vecteur U indice 2.
(0)
U indice 2 =(1)
(1)

Alors je pense qu'il faut prouver que 2U= Vect (U indice 2), mais je ne trouve pas exactement comment faire.
Faire un système AX=2U ? Mais à quoi serait égal 2U alors ?

Je me casse vraiment la tête avec ce petit énoncé alors que je suis certain que ça doit se faire en 2 minutes ... Pourriez vous m'aider s'il vous plait ? :marteau:

ps: L'écriture de mes matrices étant bricolées, les lignes 1 et 3 sont à chaque fois décalées, désolé mais je n'ai pas pu faire mieux :mur:

[Pythales]

Bonsoir :we:
Veuillez m'excuser du dérangement, mais j'avais une question à laquelle j'ai eu beau chercher pendant environ ... 2 heures (sans rire, si même plus), mais je n'ai pas pu avancer d'un pouce.

Le pb est le suivant :
(0 0 0)
Soit A=(-2 2 0) (A est une matrice à 3 lignes et 3 colonnes de R)
(-2 3 -1)

On considère l'application f de M(3,1) (R) dans M(3,1) (R) définie par f(X)= AX
On nous a demandé de prouver que c'est une application linéaire puis de déterminer son noyau, ce qui est fait.
(1)
(ker f = Vect (1) )
(1)

On nous demande maintenant de montrer que l'ensemble F des vecteurs U de M(3,1) (R) tels que f(U) = 2U est un sous espace vectoriel engendré par le vecteur U indice 2.
(0)
U indice 2 =(1)
(1)

Alors je pense qu'il faut prouver que 2U= Vect (U indice 2), mais je ne trouve pas exactement comment faire.
Faire un système AX=2U ? Mais à quoi serait égal 2U alors ?

Je me casse vraiment la tête avec ce petit énoncé alors que je suis certain que ça doit se faire en 2 minutes ... Pourriez vous m'aider s'il vous plait ? :marteau:

ps: L'écriture de mes matrices étant bricolées, les lignes 1 et 3 sont à chaque fois décalées, désolé mais je n'ai pas pu faire mieux :mur:

Soit
et

Le systéme :

-
-
donne

soit ...

[Chameley]

Bonsoir Pythales.
Donc si je comprends bien à chaque fois que l'on me présente un U, un X ou un Y dans un problème de ce genre, ça sera forcément une matrice de la taille de l'ensemble dit dans l'exercice et avec les valeurs a,b,c... ou x,y,z... ? Je n'avais pas trop pensé à ça car on parlait "des vecteurs U" et non pas du vecteur U ... c'est encore un peu confus pour moi, pourriez-vous m'expliquer comment cela se fait-il ?
Donc il fallait bien se servir de AU=2U, j'étais pas si loin haha !

Merci beaucoup pour votre réponse, ah et encore une question, comment fait-on pour finir la justification alors ?

[Pythales]

Bonsoir Pythales.
Donc si je comprends bien à chaque fois que l'on me présente un U, un X ou un Y dans un problème de ce genre, ça sera forcément une matrice de la taille de l'ensemble dit dans l'exercice et avec les valeurs a,b,c... ou x,y,z... ? Je n'avais pas trop pensé à ça car on parlait "des vecteurs U" et non pas du vecteur U ... c'est encore un peu confus pour moi, pourriez-vous m'expliquer comment cela se fait-il ?
Donc il fallait bien se servir de AU=2U, j'étais pas si loin haha !

Merci beaucoup pour votre réponse, ah et encore une question, comment fait-on pour finir la justification alors ?

Le systéme donne avec quelconque, c.a.d. tout vecteur engendré par

[Chameley]

D'accord, merci !

Une dernière question malgré tout qui est dans le même exercice :

Soit H= [U appartenant à M(3,1) de (R), f(U)=-U]. Déterminer un vecteur U indice 3 tel que H = Vect(U indice 3).

J'ai commencé par faire f(U) + U = 0 ce qui me donne un système, mais du coup toutes mes variables valent 0, alors je ne pense pas que ce soit cela.

Pourtant il faut trouver un vecteur Uindice 3 tel que que H=Vect(U indice 3), autrement dit on peut aussi définir une matrice M(3,1) de (R) telle que:
(x)
Soit U indice 3 =(y)
(z)
Et ensuite résoudre le système f(U) + U = U indice 3 où l'on a a=x etc. Mais pareil, je ne vois pas où cela peut bien mener.
Pourriez-vous m'aider encore une fois ?

[Pythales]

D'accord, merci !

Une dernière question malgré tout qui est dans le même exercice :

Soit H= [U appartenant à M(3,1) de (R), f(U)=-U]. Déterminer un vecteur U indice 3 tel que H = Vect(U indice 3).

J'ai commencé par faire f(U) + U = 0 ce qui me donne un système, mais du coup toutes mes variables valent 0, alors je ne pense pas que ce soit cela.

Pourtant il faut trouver un vecteur Uindice 3 tel que que H=Vect(U indice 3), autrement dit on peut aussi définir une matrice M(3,1) de (R) telle que:
(x)
Soit U indice 3 =(y)
(z)
Et ensuite résoudre le système f(U) + U = U indice 3 où l'on a a=x etc. Mais pareil, je ne vois pas où cela peut bien mener.
Pourriez-vous m'aider encore une fois ?

La solution de et de est le vecteur nul.

[Chameley]

La solution de et de est le vecteur nul.

D'accord, merci beaucoup, bonne soirée .