Formes linéaires, dualité

[a22]

Bonjour
je suis en train de faire un exercice où il faut démontrer la dualité... mais j'ai quelques doutes.
Ainsi E est un R-ev,
On a une base C= (ei) i de 1 à n de E et une famille C* (e*i) de 1 à n tel que e*i(ej)= dij = 1 si i=j ou 0.

1. Il faut montrer que pour tout x de E: on a x= somme(e*i(x).ei) (pour i de 1 à n)
et on a u une application linéaire de E dans R et il faut montrer que :
u= somme (u(ei)e*i



Je sais que pour tout x on x= somme(ei.li) avec li un réel
je me suis dit que si x=0 on a l1=l2=...=ln=0 et après on pouvait y composer par e*i(x)... mais cela me semble un peu limité... et j'ai du mal à percevoir ce que ei(x) peut bien signifier car ei est un vecteur et il est écrit ici en fonction de x.

Pour l'application j'ai pensé composé par u: tel que x= somme(e*i(x).ei)
u(x)= somme(u(e*i(x).ei))
u(x)= u(e*i(x)).u(ei)
...

Merci pour toutes indications...

[lionel52]

Salut ei*(x) te donne la ième composante de x dans la base (e1,e2,....,ei,...en)
En effet si tu écris x = x1.e1 + ... + xn.en

ei*(x) = x1.ei*(e1) + ... + xn.ei*(en) = xi car ei*(ej) = 1 si i = j et 0 sinon

Donc x = somme(ei*(x).ei)

[a22]

Merci beaucoup! cela m'a bien éclairci !
Mais si par exemple ensuite

j'ai B=(d^-1(phi*i)) i de 1 à n,

d: E dans E** avec d(x)= x(chapeau)

et pour tout phi e E, x(chapeau)(phi) = phi(x).


phij(d^-1(phi*i)) est alors ma ième composante de B ?


merci encore pour votre réponse