Probabilité

[zikiri]

bonjour,
j'ai une question de proba qui me dérange .si quelqu'un pouvait me donner une indication . on X suit la même loi que -X. avec phi sa fonction caractéristique .
on a montré dans les questions précédentes que
- lim phi(1/racine(n))^n =e^-1/2.
- pour n assez grand phi(1/racine(n)) est strictement positif .

maintenant on me demande de montrer l'équivalence de phi(1/racine(n))-1 avec -1/2n.
en utilisant le fait que phi (1/racine(n)) est strictement positif pour n assez grand .

j'ai commencé par le fait que comme X suit la meme loi que -X alors phi(1/racine(n))=E(cos(X*1/ racine(n)). j'ai fait un dl qui m'a donné 1-E(X^2)/2n +o(1/n) . le seul problème c'est que j'ai pas utilisé le fait que phi(1/racine(n)) strictement positif , que je connais pas la valeur de E(X^2) ,et qu'on va nous demander de calculer ce dernier dans les questions suivantes .

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas grand chose a ton énoncé (en particulier comment tu arrive à déduire des trucs aussi précis que ce que tu as en partant uniquement du fait que X et -X suivent la même loi...)
MAIS, par contre, ce que je sait, c'est que, si avec alors donc . . .

[zikiri]

bonjour d'après l'énoncé suit une loi normal N(0,1) comme Xn sont iid. donc on a tout ce qui est precedent .mais je ne comprend pas comment tu as eu ce resultat avec alors

[Ben314]

pt'ête ben en prenant la racine n-ième des deux membres de l'égalité...

[zikiri]

ah j'avais vraiment oublié, le probléme c'est que c'est lim de phi(1/racine(n)) qui est égale à e^-1/2 . donc je ne sais pas si on peut facilement passer pas le racine n-ième

[Ben314]

Effectivement, j'avais pas lu le "lim" devant l'égalité (met toi au MimeTeX), désolé.

Mais, bon, ça marche quand même :
Pour simplifier, posons .
Ton hypothèse, c'est donc que et, comme la fonction est continue, on a c'est à dire .
Cela montre en particulier que donc que donc que donc que

[zikiri]

merci j'ai reussi en utilisant l'expression de en faisant en faisant un Dl en 0

dans une autre question on nous a demandé de montrer que suit une loi normale centré réduite sachant que et ne suivent pas la même loi . moi j'ai essayé de divisé en deux la somme et et montrer que les deux suivent suivent une loi une loi normale d'après le TCL et à l'aide de la formule de transfert monter la convergence en loi vers . mais le problème c'est que je ne trouve pas la densité d'une loi gaussienne centrée réduite . je suis désolé je vous demande beaucoup.

[Ben314]

Vu mon niveau en proba, je suis pas sûr de pouvoir t'aider, mais de toute façon, je comprend pas trop ton truc :
- Pour montrer le truc en question, ça m'étonnerais que tu ait comme seule hypothèse que X_n et -X_n ne suivent pas la même loi : il te faut forcément des hypothèses sur les autres Xk (k entre 1 et 2n). Et même en supposant que, quelque soit k entre 1 et 2n, Xk et -Xk ne suivent pas le même loi, on irais pas bien loin avec ça...
- Soit tu as mal recopié ce qu'on te demande de monter, soit ce que tu fait n'a rien à voir avec la question : a ce que je comprend, on te demande de montrer que, pour un n donné, la somme de k=1 à 2n de ... est égale à un truc donc je comprend pas comment tu compte t'en sortir avec le théorème central limite qui parle de... limite.

Conclusion :
- C'est quoi précisément tes hypothèses sur les v.a.r. X1,X2,...X2n
- C'est quoi précisément que tu doit montrer : est-ce "la somme, pour un n donné, est égale à une gaussienne" ou bien "la somme tend vers une gaussienne" ?

[zikiri]

la suite converge en loi vers une loi normal . et les sont de meme loi et independants avec

c'est tout ce qu'on sait .

[zygomatique]

salut

si les X_n sont indépendantes alors et sont indépendantes et de même loi et suit la même loi avec les mêmes paramètres que

donc la loi de la variable aléatoire est la même que celle des X_n avec un écart type multiplié par et leur moyenne est toujours 0 = 0 - 0

et la somme (finie) est une variable aléatoire qui suit la même loi de moyenne (somme des espérances = ) et d'écart type

donc suit la loi normale centrée réduite

....

ce me semble-t-il .... en supposant que les X_k suivent la même loi normale (centrée réduite)

sinon le TCL ne donne qu'une approximation ...