Matrice nilpotente et Valeur propre

[Houda.9rayti]

Bonjour,
J'ai: det(A-XI)=(X-2)²

Donc 2 est une valeur propre de A. On me demande de déduire que B=A-2I est nilpotente. càd qu'il existe k de N tq : B^k=0

Je ne vois pas comment... quelqu'un peut bien m'expliquer ?
Merci et bonne journée.

[Houda.9rayti]

Bon après calcul, j'ai trouvé que det(B-XI)=X²
donc 0 est la seule valeur propre de B, d'où B^k=0 ( polynome anulateur) c'est bien ça ?

[Godfrey]

Salut,

Connais-tu le théorème de Cayley-Hamilton (ou Hamilton-Cayley selon les personnes) ?

[Houda.9rayti]

Salut,
Oui. Il dit que tout endomorphisme (ou matrice ) annule son propre polynôme caractéristique.