Démonstration paraboles

[GAUTHIER2627]

bonjours

alors voila je n'arrive pas a faire mon dm je ne comprend pas comment répondre a la question
voici le sujet:

A) D'abord un peu de lecture:
Voici les réponses de l'exercice 2 du DS 15 concernant la parabole (P) de la fonction f définie sur R par
f(x)=-x²+4x+3.

1) f'(x)=-2x+4

2) A et B sont les points de (P)d'abscisse respectives 0 et 3.
a)l'équation réduite de la tangente TA à (P) au point A est y=4x+3
b)l'équation réduite de la tangente TB à (P) au point B est y=-2x+12
c)l'abscisse du point d'intersection I de TA et de TB est solution de 4x+3=-2x+12, càd de 6x=9; on
obtient donc x1= 1,5. l'ordonnée de I vaut f(x1)=x1²+4x1+3=6,75 donc I (1,5;6,75).
L'abscisse du milieu de [AB] vaut xA+xB/2=0+3/2=1,5 ce qui est bien l'abscisse de I.

3) généralisation: A et B sont maintenant deux points de (P) d'abscisses respectives a et b
, réels distincts .
a) la tangente de A à (P) a pour équation réduite y=(-2a+4)x+a²+3.
la tangente de B à (P) a pour équation réduite y=(-2b+4)x+b²+3.
b)l'abscisse du point d'intersection de I de ces deux tangentes est solution de
(-2a+4)x+a²+3= (-2b+4)x+b²+3, càd de (-2b+4)x-(-2a+4)x=a²-b² ou encore de 2(a-b)x=a²-b², et
donc on obtient x=a+b/2 (identité remarquable et a-b0
Finalement on obtient x1= a+b/2 qui est bien abscisse du milieu de [AB] ( en effet a+b/2=xa+xb/2). la propriété observé dans la question 2) est donc encore vraie : l'abscisse du point d'intersection des tangentes a (P) en deux points quelconques A et B de (P) est l'abscisse de milieu de [AB] .

B) travail à faire:
démontrer que cette propriété est encore vrai pour toutes les paraboles et pour tous les points A et B distincts de ces paraboles.

Voila le sujets j'espère ne pas avoir fait trop d'erreur en le recopiant merci d'avance de votre aide

[titine]

On veut démontrer que pour toute parabole l'abscisse du point d'intersection des tangentes a (P) en deux points quelconques A et B de (P) est l'abscisse de milieu de [AB] .
Tu prends une parabole quelconque représentant une fonction f de la forme f(x) = ax² + bx + c
Tu prends 2 points de la parabole d'abscisse x1 et x2.
Tu cherches l'équation de la tangente T1 au point d'abscisse x1 et l'équation de la tangente T2 au point d'abscisse x1.
Puis tu cherches l'abscisse du point d'intersection de T1 et T2. Pour que ta propriété soit vraie il faut que tu trouves que cette abscisse est égale à (x1 + x2)/2.

On commence :
Que trouves tu pour l'équation de T1 ?

[GAUTHIER2627]

On veut démontrer que pour toute parabole l'abscisse du point d'intersection des tangentes a (P) en deux points quelconques A et B de (P) est l'abscisse de milieu de [AB] .
Tu prends une parabole quelconque représentant une fonction f de la forme f(x) = ax² + bx + c
Tu prends 2 points de la parabole d'abscisse x1 et x2.
Tu cherches l'équation de la tangente T1 au point d'abscisse x1 et l'équation de la tangente T2 au point d'abscisse x1.
Puis tu cherches l'abscisse du point d'intersection de T1 et T2. Pour que ta propriété soit vraie il faut que tu trouves que cette abscisse est égale à (x1 + x2)/2.

On commence :
Que trouves tu pour l'équation de T1 ?

bonjours merci de votre aide

il faut que je prenne n'importe quelle parabole avec 2x²+4x+9 c'est bon ??

[titine]

bonjours merci de votre aide

il faut que je prenne n'importe quelle parabole avec 2x²+4x+9 c'est bon ??

Non. Il faut travailler dans le cas général, pas sur un exemple. Donc tu prends ax² + bx + c (a, b et c étant des nombres quelconques, a différent de 0)

[GAUTHIER2627]

donc voila j'ai choisi f(x)=2x²+3x+9 et x1=-1 et x2=2
pour T2 je trouve y=-5x+17 j'ai vérifié a la calculatrice ça à l'aire d’être bon mais pour T1 je trouve y=7x+15 et quand je le rentre sur la calculatrice la direction est bonne mais sa ne touche pas le point d'abscisse x1 sur la parabole donc sa ne fais pas une tangente en ce point j'ai verifié plein de fois me suis-je trompé ou est ce que cela vient de ma calculatrice ?? et pour la suite j'aimerais bien de l'aide merci :help:

[GAUTHIER2627]

donc voila j'ai choisi f(x)=2x²+3x+9 et x1=-1 et x2=2
pour T2 je trouve y=-5x+17 j'ai vérifié a la calculatrice ça à l'aire d’être bon mais pour T1 je trouve y=7x+15 et quand je le rentre sur la calculatrice la direction est bonne mais sa ne touche pas le point d'abscisse x1 sur la parabole donc sa ne fais pas une tangente en ce point j'ai verifié plein de fois me suis-je trompé ou est ce que cela vient de ma calculatrice ?? et pour la suite j'aimerais bien de l'aide merci :help:

je viens de voire votre reponse je me suis donc planter

[GAUTHIER2627]

je recommence

[GAUTHIER2627]

pour T1 je trouve y=-ax1²+2x1ax+bx+c ce qui est forcement faux donc je sais pas quoi faire et pour T2 je trouve pareil mets on remplace x1 par x2
comment trouver la bonne reponse
pour trouver cela j'ai utilisé la formule y=f(x1)+f ' (x1)(x-x1)

[titine]

pour T1 je trouve y=-ax1²+2x1ax+bx+c ce qui est forcement faux donc je sais pas quoi faire et pour T2 je trouve pareil mets on remplace x1 par x2
comment trouver la bonne reponse
pour trouver cela j'ai utilisé la formule y=f(x1)+f ' (x1)(x-x1)

D'accord avec y=f(x1)+f ' (x1)(x-x1)

f(x) = ax² + bx + c donc f(x1) = ax1² + bx1 + c
f'(x) = 2ax + b donc f'(x1) = 2ax1 + b

Equation T1 :
y = ax1² + bx1 + c + (2ax1 + b)(x -x1)
y = (2ax1 + b)x - ax1² + c

De même pour T2 :
y = (2ax2 + b)x - ax2² + c

Le point d'intersection de T1 et T2 ................

[GAUTHIER2627]

D'accord avec y=f(x1)+f ' (x1)(x-x1)

f(x) = ax² + bx + c donc f(x1) = ax1² + bx1 + c
f'(x) = 2ax + b donc f'(x1) = 2ax1 + b

Equation T1 :
y = ax1² + bx1 + c + (2ax1 + b)(x -x1)
y = (2ax1 + b)x - ax1² + c

De même pour T2 :
y = (2ax2 + b)x - ax2² + c

Le point d'intersection de T1 et T2 ................

ben je recherche quand T1=T2 et je dois tomber sur x1+x2/2 c'est ça ?

[titine]

ben je recherche quand T1=T2 et je dois tomber sur x1+x2/2 c'est ça ?

C'est ça !

[GAUTHIER2627]

C'est ça !

je suis bloqué à:

(2ax1+b)x-(2ax2+b)x=ax2²-ax1²

[titine]

je suis bloqué à:

(2ax1+b)x-(2ax2+b)x=ax2²-ax1²

Bin ça fait (2ax1- 2ax2)x = ax2²-ax1²
Donc x = (ax2²-ax1²)/(2ax1- 2ax2)
à simplifier ...........

[GAUTHIER2627]

Bin ça fait (2ax1- 2ax2)x = ax2²-ax1²
Donc x = (ax2²-ax1²)/(2ax1- 2ax2)
à simplifier ...........

je trouve (ax2-ax1)/2-2 ce qui donnerais (ax2-ax1)/0 mais c'est impossible ....

[titine]

Mais comment donc passes tu de x = (ax2²-ax1²)/(2ax1- 2ax2) à (ax2-ax1)/2-2 ??

Oh ! Je crois avoir compris .....
Quelle horreur !!
Où as tu appris à simplifier une fraction ?
Que diraient tes profs de collège s'ils voyaient cela !

Bon, on rappelle :
(a*b)/(a*c) = b/c
C'est la seule règle sur les fractions. On n'en invente pas d'autres !

Donc : (ax2²-ax1²)/(2ax1- 2ax2) = a(x2² - x1²)/(2a(x1 - x2)) = .............

[GAUTHIER2627]

Mais comment donc passes tu de x = (ax2²-ax1²)/(2ax1- 2ax2) à (ax2-ax1)/2-2 ??

je fais:

x=(ax2²-ax1²)/(2ax1-2ax2)
x=(ax2*ax2-ax1*ax1)/(2ax1-2ax2)
x=(ax2-ax1)/2-2

[titine]

je fais:

x=(ax2²-ax1²)/(2ax1-2ax2)
x=(ax2*ax2-ax1*ax1)/(2ax1-2ax2)
x=(ax2-ax1)/2-2

Bien sûr !
(3*5 + 5*5)/(2*5 - 2*5) = (3+5)/(2-2) !!!

[GAUTHIER2627]

Bien sûr !
(3*5 + 5*5)/(2*5 - 2*5) = (3+5)/(2-2) !!!

ben je sais pas alors je pensais qu'on pouvais ...

[titine]

ben je sais pas alors je pensais qu'on pouvais ...

Ce qui est vrai :
Lorsqu'on multiplie le numérateur est le dénominateur par un même nombre on obtient une fraction égale.
Exemples :
2/5 = (2*3)/(5*3) = 6/15
8/6 = (8:2)/(6:2) = 4/3
C'est tout !
Et on ne peut pas dire que 5/4 = 3/2 car 5/4 = (5-2)/(4-2) (je pense que tu es bien d'accord avec moi, 5/4 n'est pas égal à 3/2 !)

(2*6)/(2*5) = 6/5
Mais (2*6)/(2+5) = 12/7 (pas de simplification possible)

Ce n'est pas ce que tu as appris au collège ?

[GAUTHIER2627]

Ce qui est vrai :
Lorsqu'on multiplie le numérateur est le dénominateur par un même nombre on obtient une fraction égale.
Exemples :
2/5 = (2*3)/(5*3) = 6/15
8/6 = (8:2)/(6:2) = 4/3
C'est tout !

(2*6)/(2*5) = 6/5
Mais (2*6)/(2+5) = 12/7 (pas de simplification possible)

Ce n'est pas ce que tu as appris au collège ?

si mais je ne vois toujours pas

je viens de poser x=a(x2²-x1²)/2a(x1-x2) mais je sais pas comment aller plus loin est que je me mettre sa en numeratuer : a(x2-x1)² ce qui me donne un identité remarquable ??