Tangeantes, équations de paraboles liées

[cykablyat]

La courbe C ci-dessous est formée de deux arcs de parabole qui se raccordent au point I.
La courbe C est tangente à l'axe des abscisses au point A et, pour que le raccordement entre les deux arcs de parabole soit bien "lisse" les pentes des deux demi-tangentes au point I sont égales à 1.

Déterminer les équations des deux paraboles dont les arcs ainsi raccordés forment la courbe C.

Tout d'abord, j'aimerai savoir si la représentation graphique de l'énoncé permet de dire que I(4;2) et B(8;0)
Sinon faudrait surement faire une relation entre la tangente au point I et le sommet de la parabole 1 O(0;0).
Mais dans les deux cas j'ai du mal et j’apprécierai ne serait-ce qu'un léger coup de pouce pour débloquer

[Lostounet]

Pas de bonjour? :p

Tu disposes de deux paraboles et le codage permet de lire les coordonnées A(0;0)
B(8;0)
I(4;2)

Tu peux noter la première parabole f(x)=ax^2+bx+c
Sur [0;4]
Et g(x)=mx^2+nx+p la seconde

Ton objectif? Trouver les 6 inconnues a b c, m, n et p
Pour ce faire, tu dois disposer de 6 équations.

Tu peux commencer par traduire l'appartenance de I à la première parabole et l'appartenance de I et B à la deuxième. Cela fournit déjà quelques relations. Lesquelles?

[Ben314]

Salut,
Oui, je pense qu'il faut utiliser les deux info. "graphiques" I:(4;2) et B:(8;0) vu que, si tu ne les utilisait pas, tu aurais des tonnes et des tonnes de solutions alors qu'avec ces deux info. là (plus le fait qur=e la tangente en (0,0) est horizontale) tu n'as plus qu'une seule solution.

[siger]

bonjour

soit f(x) = ax² +bx+c = 0 et g(x) = a'x² +b'x + c'=0

les donnees te donnent
pour f(x)
A (0,0) f(x) = 0
I(4,2) f(4)=2
tangente en i de pente 1: f'(4) = 1
pour g(x)
B(8,0) g(8) = 0
I(4,2) g(4) = 2
tangente g'(4) = 1

d'ou 6 equations pour determiner 6 inconnues............

[Ben314]

Perso, dans les différentes équations, ben ça me semblerait pas totalement con qu'il y ait celle là :

La courbe C ci-dessous est formée de deux arcs de parabole qui se raccordent au point I.
La courbe C est tangente à l'axe des abscisses au point A et, pour que le raccordement entre les deux arcs de parabole soit bien "lisse" les pentes des deux demi-tangentes au point I sont égales à 1.

Plutôt que f'(4)=1.

[cykablyat]

En voulant faire court j'ai oublié les bonnes manières
Bonjour et merci à tous,
POUR P1 [0,4]
.ax²+bx+c=0
.a*4²+b*4+c=2
4a²+4b+c=2
.2a+b=1 ou ax+b=0
POUR P2 [4,8]
.8a²+8b+c=0
.4a²+4b+c=2
.4a+b=1
Et à partir de là je fais comment?

[cykablyat]

Je pense avoir légèrement avancé mais à partir de là je sais plus où aller :

POUR P1
D'abord,

Tu peux commencer par traduire l'appartenance de I à la première parabole

Soit

Puis,

Perso, dans les différentes équations, ben ça me semblerait pas totalement con qu'il y ait celle là :

La courbe C ci-dessous est formée de deux arcs de parabole qui se raccordent au point I.
La courbe C est tangente à l'axe des abscisses au point A et, pour que le raccordement entre les deux arcs de parabole soit bien "lisse" les pentes des deux demi-tangentes au point I sont égales à 1.

Plutôt que f'(4)=1.

Donc c=0 ?

Et enfin,

tangente en i de pente 1: f'(4) = 1

Avec tout ça, je calcule :

[Lostounet]

f'(0) vaut aussi 0 (vu qu'en A la parabole est tangente à l'axe des abscisses, cela signifie qu'au point 0, la pente de la tangente est nulle)

f(0) = 0 aussi vu que A est sur la courbe

[Ben314]

C'est surtout f'(0) qui vaut 0 et pas f(0) = 0

A mon avis, c'est ... les deux mon capitaine... (pour avoir une tangente horizontale en A, c'est pas con que la courbe passe elle même par A)

[Lostounet]

Oui oui Ben j'étais en train d'éditer mon message. Je ne me relis pas beaucoup ces jours-ci avant de poster
C'est complètement absurde ce que j'ai dit vu qu'on parle de tangente à la courbe en un point.

[siger]

bonjour

f'(0) vaut aussi 0 (vu qu'en A la parabole est tangente à l'axe des abscisses, cela signifie qu'au point 0, la pente de la tangente est nulle)

f(0) = 0 aussi vu que A est sur la courbe

Pas evident d'apres le dessin que la tangente à l'origine soit horizontale......et pas necessaire!

[cykablyat]

Puis,

f'(0) vaut aussi 0 (vu qu'en A la parabole est tangente à l'axe des abscisses, cela signifie qu'au point 0, la pente de la tangente est nulle)

Donc b=0 ?

[Lostounet]

Pas evident d'apres le dessin que la tangente à l'origine soit horizontale......et pas necessaire!

Ben c'est dans la donnée pas dans le dessin

[cykablyat]

Et donc, si vous confirmez que c'est correct, b=c=0


Eeeeeeeeeeeeeeeet doooonc : f(x)=
Ca m'a l'air beaucoup trop facile, j'ai l'impression d'avoir foiré qq part

[Lostounet]

Tu n'as pas Géogebra ?

[cykablyat]

Oui, la courbe passe par (4;4) au lieu de passer par (4;2)...

En testant plusieurs possibilités j'ai vu que 1/8x² passait par (4;2), si ça peut aider...

[cykablyat]

Ah j'ai trouvé,
c=0 et b=0
f(x)=ax²
f(4)=2
a*4²=2
16a=2
a=1/8
Et ça passe sur géogébra.
Maintenant, pour P2:
-tangente g'(4) = 1
4a+b=1
-B(8,0)
g(8) = 0
64a+8b+c=0
-I(4,2)
g(4) = 2
16a+4b+c=2
J'ai mes 3 dernières équations , j'ai aucune idée de comment faire pour trouver a,b et c d'un coup...

[Lostounet]

Ah j'ai trouvé,
c=0 et b=0
f(x)=ax²
f(4)=2
a*4²=2
16a=2
a=1/8
Et ça passe sur géogébra.
Maintenant, pour P2:
-tangente g'(4) = 1
4a+b=1
-B(8,0)
g(8) = 0
64a+8b+c=0
-I(4,2)
g(4) = 2
16a+4b+c=2
J'ai mes 3 dernières équations , j'ai aucune idée de comment faire pour trouver a,b et c d'un coup...

Désolé mais je n'ai pas vérifié si tes équations étaient bonnes mais en tout cas elles sont simples à résoudre.

4a+b=1
64a+8b+c=0
16a+4b+c=0

Multiplie la première équation par 4
16a+4b=4

Remplace dans la troisième équation (16a+4b) par sa valeur qui est 4... ça donne 4+c=0

Une fois c obtenu tu le remplaces dans la 2eme équation par sa valeur ça donne un système classique:
4a+b=1
64a+8b-4=0

Tu trouves a et b...

[siger]

re

une erreur : derivee g'(x) = 2ax +b d'ou g'(4)= 8a + b = 1
......
finalement
g(x) = (-3/8)x^2 + 4x - 8

[Ben314]

A tient, sinon je viens de voir que j'avais lu de travers l'énoncé et que j'avais zapé la fin :

La courbe C ci-dessous est formée de deux arcs de parabole qui se raccordent au point I.
La courbe C est tangente à l'axe des abscisses au point A et, pour que le raccordement entre les deux arcs de parabole soit bien "lisse" les pentes des deux demi-tangentes au point I sont égales à 1.

j'en été resté à "sont égales" sans plus.

Donc je m'excuse platement auprès (en particulier) de siger : j'avais l'impression qu'il lisait le f'(4)=1 sur le dessin....

D'un autre coté, c'est un peu bizarre comme énoncé vu qu'avec f(0)=0 ; f'(0)=0 ; f(4)=2 et f'(4)=1 ça nous fait quatre équation pour trois inconnues...